【洛谷P1854】花店橱窗 线性dp+路径输出

题目大意：给定 N 个数字，编号分别从 1 - N，M 个位置，N 个数字按照相对大小顺序放在 M 个位置里，每个数放在每个位置上有一个对答案的贡献值，求一种摆放方式使得贡献值最大。

题解：一道典型的线性dp问题，设 \(dp[i][j]\) 表示前 i 个数摆放在了不超过前 j 个位置，且第 i 个数字正好放在 j 个位置的最大贡献值。

阶段：已经摆放了 i 个数字。

状态转移方程为：\(dp[i][j]=max\{dp[i-1][k]，k\in[i-1,j) \}+mp[i][j]\)。

需要注意的是，这道题中每次决策集合的起始端点是发生改变的，因此不能采用滚动最小值的方式优化。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=110;
const int inf=0x3f3f3f3f;

int n,m,mp[maxn][maxn],dp[maxn][maxn],pre[maxn][maxn];

void read_and_parse(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++){
			dp[i][j]=-inf;
			scanf("%d",&mp[i][j]);
		}
}

void dfs(int x,int y){
	if(!x)return;
	dfs(x-1,pre[x][y]);
	printf("%d ",y);
}

void solve(){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=i;j<=m;j++)
			for(int k=i-1;k<j;k++){
				int now=dp[i-1][k]+mp[i][j];
				if(dp[i][j]<now)dp[i][j]=now,pre[i][j]=k;
			}
	int idx=0,ans=-inf;
	for(int j=1;j<=m;j++)if(ans<dp[n][j])ans=dp[n][j],idx=j;
	printf("%d\n",ans);
	dfs(n,idx);
}

int main(){
	read_and_parse();
	solve();
	return 0;
}