算法心得1：由$nlogn$复杂度的LIS算法引起的思考

LIS(Longest Increasing Subsequence)是一类典型的动态规划类问题，简化描述如下:

给定$N(n) = \{1,2...,n\}$的一个排列$P(n)$,求$P(n)$中最长上升子列的长度。

譬如令$n = 6$, $N(6) = \{1,2,3,4,5,6\}$,$P(n) = \{1,4,2,5,3,6\}$。

容易发现$LIS(P(n)) = \{1,2,3,6\} or \{1,4,5,6\}...$。

起初我们拿到问题的思路是这样的，我们试着先分析序列的前缀，考虑P(n)中前k项的LIS，即试图分析$LIS(P(k)), k <= n$,

记$P(n) = A$,考虑由$k->k+1$的递推，若$A(k+1) > A(k)$,我们显然有$LIS(P(k+1)) = 1 + LIS(P(k))$，但若$A(k+1) < A(k)$，

则有$A(k+1) = max{LIS(P(i))} + 1, (A(i) < A(k+1), i <= k)$,那么这样做的复杂度为$O(n)$,求$LIS(P(n))$的复杂度为$O(n^2)$。

能不能更快点呢，我们的计算是否有冗余呢？我们知道答案是肯定的。

比如我们在检查到A(k)项时希望知道所有已经检查过的项对应的LIS的最大值，这样我们取其值加一即可得$LIS(P(k))$。

我们试图维护这样的一个数据结构，以线段树为例，我们构建一颗覆盖区间$[1...n]$的线段树，所有叶子结点value值初始化为$-∞$。

假设在检查$A(k)$之间线段树上储存了之前所有已访问过的项计算LIS时的信息，那么在计算$LIS(P(k))$时，我们取$[1,...A(k) - 1]$区间的最大值，

那么有区间内未访问项的值仍未$-∞$，已访问项的最大值即为所取，我们将其加一得到$LIS(P(k))$,为了维护该结构，将叶子结点A(k)对应的值更新为$LIS(P(k))$,

每次操作的复杂度为$O(logn)$,总复杂度为$O(nlogn)$。

虽然复杂度降低了，但是我们觉得使用线段树解决这个问题可能并非必要，能不能用更简单的方法实现同样复杂度的算法？

或者说，我们之前$O(n^2)$算法其使用的数据结构有何改进之处，如何重新组织信息才能使其更有利于解题？

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注意到我们之前关心的是项所对应位置，然后根据其位置查找其LIS并更新答案，实际上我们关心的只是满足$A(i) < A(k)$对应的最大LIS值，然而我们需要认识到

的是$A(k)$是在不断变化的，然而右边LIS的值则是便于处理的，并且具有单调可更新性。这就是问题解决的入口。

考虑固定LIS值，储存LIS值等于它的最小项，那么在检查A(k)时，只需用二分查找便可求得可以最为当前项前导项对应的LIS最大值，其后再对该序列用当前LIS更新即可。

时间复杂度为$O(nlogn)$，空间复杂度为$O(n)$。

高效的算法需要对原始数据加以更充分的利用，使之更容易呈现出实际问题的本质，使子问题更加主动地成为整个个问题解决的关键有效部分。