题解：SPOJ1026 Favorite Dice

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题目大意

给你一个n个面的骰子，每个面朝上的几率相等，问每个面都被甩到的期望次数

题解

典型的赠券收集问题。

我们考虑当你手上已有\(i\)种不同的数，从集合中任选一个数得到新数的概率，为\(\frac{n-i+1}{n}\)，那期望即为\(\frac{1}{p} = \frac{n}{n-i+1}\)。所以总期望为\(\sum_{i = 1}^{n}\frac{n}{n-i+1} = \sum_{i=1}^{n}\frac{n}{i}\)。

当然也可以用概率dp来推：

我们设\(f[i]\)表示取了\(i\)种数时还须取的数的期望。

显然\(f[n] = 0\)，答案为\(f[0]\)，所以为逆推。

又由于选第\(i\)个数后再选一个数与已经选过的数不同的概率为\(\frac{n-i}{n}\)，相同为\(\frac{i}{n}\)。

于是可得\(f[i] = \frac{n-i}{n}f[i+1]+\frac{i}{n}f[i] + 1\)。

解得\(f[i] = f[i+1] + \frac{n}{n-i}\)。

于是整理一下就变成了\(f[0] = \sum_{i=1}^{n}\frac{n}{i}\)。