【学习笔记】字符串—马拉车（Manacher）

【学习笔记】字符串—马拉车（Manacher）

一：【前言】

马拉车用于求解连续回文子串问题，效率极高。

其核心思想与 \(kmp\) 类似：继承。 ——引自 \(yyx\) 学姐

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二：【算法原理】

对于任意一个回文串 \(a\)，设其中点为 \(mid\)（为方便描述，偶数串则在正中央加一个位置），那么根据定义，有：

\(a[mid-1]==a[mid+1]\)

\(a[mid-2]==a[mid+2]\)

\(...\)

可知：

如果 \(a[mid-x]\) 可以形成半径为 \(r\) 的回文串，且不越过以 \(mid\) 为中心的回文串，那么 \(a[mid+x]\) 也可以形成半径为 \(r\) 的回文串。

以奇回文串为例，用 \(r[i]\) 表示以 \(i\) 为中点的最大回文串长度。

如果我们已知 \(r[mid],r[j](j \in [mid-r[mid]+1,mid-1])\)，那么可以分两种情况推出其关于 \(mid\) 的对称点 \(i\) \((\frac {i+j}{2}=mid)\) 的半径：

设 \(R=mid+r[mid]-1\) 。

\((1).\) \(i+r[j]-1<=R,\) \(r[i]=r[j]\) 。

\((2).\) \(i+r[j]-1>R,\) \(r[i]=R-i+1\) 。

即 \(r[i]=min(r[j],R-i+1)\) 。

如上所述，实现了从前面信息到后面信息的继承。

继承之后还需要判断以 \(i\) 为中心能否继续扩张，这时候可以直接暴力枚举扩大半径。

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三：【算法实现】

实时维护一个已知覆盖范围最靠右的回文串信息，记录其中点 \(mid\) 和右端点 \(R\)。

从 \(1,n\) 枚举 \(i\)：

若 \(i<=R\) 则可以用 \(i\) 的对称点 \(mid*2-i\) 得到 \(r[i]\)，

若 \(i>R\)（即 \(R=i-1\) 的情况，因为 \(R\) 永远大于等于 \(i-1\)），初始化 \(r[i]=1\)，然后暴力扩大求出最大 \(r[i]\)。

如果以 \(i\) 为中点可以得到更靠右的回文串，更新 \(mid\) 和 \(R\)。

但偶数串不太好处理，所以在原字符串中的所有空隙中插入一个不可能出现的字符，例如 \('*',\) \('|'\) 等等，最前面和最后面也要插。

此时，奇数串还是奇数串，偶数串则变成了奇数串，可以统一按照奇数串处理啦。

注意：统计答案时应取真实的回文串长度。

（具体可以自己画个图分类讨论一下，会发现无论奇偶，无论是否为原字符串中的字符，\(r[i]-1\) 始终等于以 \(i\) 为中点的实际最大回文串长度。）

【Code】

题目：\(Palindrome\) \([Poj3974]\)

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#define Re register int
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,R,mid,ans,OOO,r[N<<1];char op[N],a[N<<1];
inline void in(Re &x){
    int f=0;x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
    x=f?-x:x;
}
int main(){
    while(cin>>op){
        if(op[0]=='E'&&op[1]=='N'&&op[2]=='D')break;//没用string就只能这样一位一位地判断了
        a[0]='$',a[n=1]='*',R=0,mid=0,ans=0;
        for(Re i=0;op[i];++i)a[++n]=op[i],r[n]=0,a[++n]='*',r[n]=0;//玄学填空法
        for(Re i=1;i<=n;++i){
            r[i]=i<=R?min(R-i+1,r[(mid<<1)-i]):1;//继承前辈的信息
            while(a[i-r[i]]==a[i+r[i]])++r[i];//暴力扩张领域
            if(i+r[i]-1>R)R=i+r[mid=i]-1;
            ans=max(ans,r[i]-1);//取实际回文长度
        }
        printf("Case %d: %d\n",++OOO,ans);
    }
}

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四：【时间复杂度】

似乎看起来效率并不高，近似 \(O(n^2)\)，但实际上它的理论复杂度是 \(O(n)\)。

为何？

对于每个 \(i\)：

如果 \(i<=R\)，那么直接 \(O(1)\) 计算 \(r[i]\)。

如果 \(i>R\)，那么会用 \(O(len)\) 向右扫描 \(len\)个单位，所以此时 \(R\) 会向右移动 \(len+1\) 的单位。

而 \(R\) 最多只会移动 \(n\) 个单位，因此 \(Manacher\) 算法时间复杂度是线性的：\(O(n)\)。

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五：【例题】

• 【模板】\(manacher\) 算法 \([P3805]\)
  
  【标签】字符串/回文串/\(Manacher\) 模板

• \(Palindrome\) \([Poj3974]\)
  
  【标签】字符串/回文串/\(Manacher\) 模板/\(Hash\)/二分

• \(Palindrome\) \(pairs\) \([CF159D]\)
  
  【标签】字符串/回文串/\(Manacher\)/差分
  
  【题解】\(Xing\)_\(Ling\)

• \(Sonya\) \(and\) \(Matrix\) \(Beauty\) \([CF1080E]\)
  
  【标签】字符串/回文串/\(Manacher\)/暴力枚举/整体思想
  
  【题解】\(Xing\)_\(Ling\)