leetcode 877. Stone Game 详解 -——动态规划
原博客地址 https://blog.csdn.net/androidchanhao/article/details/81271077
题目链接
https://leetcode.com/problems/stone-game/discuss/
https://leetcode-cn.com/contest/weekly-contest-95/problems/stone-game/
877. 石子游戏
亚历克斯和李用几堆石子在做游戏。偶数堆石子排成一行,每堆都有正整数颗石子 piles[i]
。
游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的总数是奇数,所以没有平局。
亚历克斯和李轮流进行,亚历克斯先开始。 每回合,玩家从行的开始或结束处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止,此时手中石子最多的玩家获胜。
假设亚历克斯和李都发挥出最佳水平,当亚历克斯赢得比赛时返回 true
,当李赢得比赛时返回 false
。
示例:
输入:[5,3,4,5]
输出:true
解释:
亚历克斯先开始,只能拿前 5 颗或后 5 颗石子 。
假设他取了前 5 颗,这一行就变成了 [3,4,5] 。
如果李拿走前 3 颗,那么剩下的是 [4,5],亚历克斯拿走后 5 颗赢得 10 分。
如果李拿走后 5 颗,那么剩下的是 [3,4],亚历克斯拿走后 4 颗赢得 9 分。
这表明,取前 5 颗石子对亚历克斯来说是一个胜利的举动,所以我们返回 true 。
提示:
2 <= piles.length <= 500
piles.length
是偶数。1 <= piles[i] <= 500
sum(piles)
是奇数。
题解:
由于题目的限制条件是石头的堆数是偶数,且石头的总数是奇数,因此Alex可以选择一种策略总是选偶数堆或者奇数堆的石头,则一定可以胜过Lee。简单说,Alex在题目的条件限制下是必胜的。但这里我们需要进行更一般化的分析,例如石头堆数不一定是偶数,石头总数也不一定是奇数,且不但要判断Alex是否能赢,还要判断最多赢多少分,如果输,能不能提供最少输多少分。这里的分数是指多拿的石头数量。
我们每次只能拿两端的石头堆的石头,但我们又不知道拿完后剩下的石头堆的情况,因此我们考虑先解决子问题。例如我们求出2个相邻石头堆的胜负情况,我们可以根据求出的数据求出相邻3个石头堆的胜负情况,以此类推,我们可以根据n-1个相邻石头堆的胜负情况,求出n个相邻石头堆的胜负情况,即我们的原问题。
根据我们的类推我们可以设dp[i][j]
为piles[i]~piles[j]
Alex最多可以赢Lee的分数。每次取石头堆只能从两端取,因此:dp[i][j] = max(piles[i] - dp[i+1][j], piles[j] - dp[i][j-1])
。其中
piles[i] - dp[i+1][j]
表示Alex取走i
上的石头堆,piles[j] - dp[i][j-1]
表示Alex取走的是j
上的石头堆。注意,为什么dp[i+1][j]
表示piles[i+1]~piles[j]
之间Alex最多可以赢Lee的分数,而piles[i]
要减去该值而不是加上该值呢?由于我们的要求是每一步Alex和Lee采取的都是最优策略,当取piles[i]
时,piles[i+1]~piles[j]
中Alex和Lee的走法会调换。意即Lee走Alex的走法,Alex走Lee的走法,因此这里要做减法。
以题目中的[5, 3, 4, 5]为例,下图是我们的计算步骤:
按照这个思路,很容易写出完整的代码:
class Solution {
public:
bool stoneGame(vector<int>& piles) {
int n = piles.size();
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0));
for(int i = 0; i < n; i++) {
dp[i][i] = piles[i]; //初始化只有i一个石头堆的情形
}
for(int dis = 1; dis < n; dis++) {//依次计算相邻2个石头堆到n个石头堆的情形
for(int i = 0; i < n - dis; i++) {
dp[i][i+dis] = max(piles[i]-dp[i+1][i+dis], piles[i+dis]-dp[i][i+dis-1]);
}
}
return dp[0][n-1] > 0;
}
};
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
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参考资料:
https://leetcode.com/problems/stone-game/discuss/154610/C++JavaPython-DP-or-Just-return-true
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