落谷 P1410 子序列

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Discription

给定长度为 \(n\) 的序列 \(A\)（\(n\) 为偶数），判断是否能将其划分为两个长度为 \(\dfrac{N}{2}\) 的严格递增子序列。

Solution

不妨按下标从小到大考虑每个数要分给哪一组，比较明显的 DP，朴素时空复杂度太高。

在朴素中，我们需要知道四个信息：

1. 第一组的长度
2. 第一组最后一个数的数值
3. 第二组的长度
4. 第二组最后一个数的长度

• 由于所有数都得填，所以当填完前 \(i\) 个数的时候，肯定有一组的末尾是 \(A[i]\)，可以降一个维度
• 考虑把可行性 DP，把一个状态，用贪心最优性搞在状态里，这题的最后一个数的数值显然越小越好（容错率越高）。

这样状态数量就在两维了，每次转移其实就是考虑这个数到两个组中的哪一个，应该是可以接受的。

状态设计

设 \(f_{i, j}\) 为填完了前 \(i\) 个数，以 \(a[i]\) 结尾的那组长度为 \(j\)，所能构成的另外一组最后一个数的的最小值。

状态转移

”我为人人“ 式转移可能更好理解：

• 考虑将 \(A[i + 1]\) 填入以 \(A[i]\) 结尾的组里，需要满足 $A[i] < A[i + 1] $，转移为 \(f_{i + 1, j + 1} = \min(f_{i, j})\)
• 将第 \(A[i + 1]\) 填入另一组组里，需要满足 \(f_{i, j} < A[i + 1]\)，转移为 \(f_{i + 1, i - j + 1} = \min(A[i])\)

最后检测 \(f_{n, n / 2}\)是否等于无穷即可。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 2005, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, a[N], f[N][N >> 1];

int main() {
	while (~scanf("%d", &n)) {
		memset(f, 0x3f, sizeof f);
		for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", a + i);
		f[1][1] = -1;
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			for (int j = 1; j * 2 <= n; j++) {
				if (f[i][j] == INF) continue;
				if (a[i] < a[i + 1]) f[i + 1][j + 1] = min(f[i + 1][j + 1], f[i][j]);
				if (f[i][j] < a[i + 1]) f[i + 1][i - j + 1] = min(f[i + 1][i - j + 1], a[i]);
			}
		}
		puts(f[n][n / 2] != INF ? "Yes!" : "No!");
	}
	return 0;
}