Period of an Infinite Binary Expansion 题解

Solution

简单写一下思考过程，比较水的数论题

第一个答案几乎已经是可以背下来的，在此不再赘述

考虑我们已经知道了\((p,q)\)，其中\((p \perp q) \wedge (q \perp 2)\)，要求的是循环长度

首先看看样例的\(\frac{1}{5}\)怎么做呢

观察答案，可以得到$$\frac{1}{5}=\sum_{t>0}(\frac{3}{16^t})$$

简单思考一下，发现答案和\(p\)没关系，和\(q\)的关系为

\[\frac{1}{q}=\sum_{t>0}{\frac{s}{2^{kt}}}
\]

其中\(s,t \in \text{N}^\ast\)

简单化下式子，等比数列求和得$$2^k-1=qS$$

即$$2^k \equiv 1 \pmod{q}$$

所以\(k|\varphi(q)\)

秒杀！

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
typedef long long LL;
using namespace std;
inline LL gcd(LL x, LL y) {return (y == 0) ? x : gcd(y, x % y);}
LL p, q, ans1, ans2, d, n, i, id, phi;
inline long long mul(long long a,long long b,long long c){
	long long res = (a*b-(long long)((long double)a/c*b)*c)%c;
	return res < 0 ? res+c : res;
}
inline LL fpow(LL pnt) {
	LL res = 1, base = 2;
	for(; pnt; pnt >>= 1, base = mul(base, base, q))
		if(pnt & 1) res = mul(res, base, q);
	return res;
}
inline void getphi(LL x) {
	phi = x;
	for(i = 2; i * i <= x; ++i) {
		if(!(x % i)) {
			phi = phi / i * (i - 1);
			while(!(x % i)) x /= i;
		}
	}
	if(x ^ 1) phi = phi / x * (x - 1);
}
int main() {
	while(~scanf("%lld/%lld",&p,&q)) {
		++id;
		d = gcd(p, q);
		p /= d, q /= d;
		ans1 = 1; while(!(q & 1)) ++ans1, q >>= 1;
		if(q == 1) ans2 = 0;
		else {
			getphi(q);
			ans2 = 0x7f7f7f7f;
			for(i = 1; i * i <= phi; ++i)
				if(!(phi % i)) {
					if(fpow(i) == 1) {ans2 = i; break;}
					if(fpow(phi / i) == 1) ans2 = phi / i;
				}
		}
		printf("Case #%lld: %lld,%lld\n",id,ans1,ans2);
	}
	return 0;
}