CF1534F2 Falling Sand (Hard Version)

个人思路：

每个点向相邻沙子连边，向本列和相邻 \(2\) 列下方第一个沙子连边。

对于一个 DAG，所有入度为 \(0\) 的点会覆盖全部点。我们缩点即可通过 F1。

但是这样做是过不了 F2 的。

我们发现一个沙子下落，其下面的所有沙子都会下落，也就是说，第 \(i\) 列从下往上第 \(a_i\) 个沙子一定会直接或间接下落。

我们维护每行取最上方的沙子，它一定能覆盖一个连续的区间。因为每行只能让相邻两列下落，不可能不连续。

那么我们只需要求出每列最高点的覆盖区间，这个问题就转化为了区间覆盖问题。

先求区间。

我们对每个点计算相邻两列不比这个点高的最高点的位置，对其建边。这可以通过从低往高枚举每一行实现。

我们从每列最高点分别向两边搜索，不断沿边走，到达一个点后不断往上走直到上方相邻的点没沙子。以左边为例，在第 \(i\) 列小于 \(a_i\) 时，停止搜索，此时区间左端点就是 \(i+1\)。

然后区间覆盖，比较简单。

我们维护下标 \(now\) 与 \(R\)，表示当前覆盖了 \([1,now]\)，已有线段中可以覆盖到 \(R\)。到一个节点时，用以该节点为左端点的线段更新 \(R\)，如果这个点没有被覆盖，\(now \leftarrow R\)，表示直接覆盖到 \(R\)。

上述算法假了，hack 如下：

6 8
#.#..##.
..####..
..#..###
..##.##.
.#.####.
####.#..
1 2 2 3 1 5 2 1

显然可以在第 \(4\) 列走回第 \(3\) 列，第 \(1\) 列即可覆盖所有。

必须 dfs。与 F1 类似，向本列和相邻 \(2\) 列下方第一个沙子连边，然后暴力沿边搜索。

最坏情况下每个点走一遍全图，直接寄。

然后就不会了。

正解：

上述算法是假的，一个点覆盖区间连续的结论是错误的，例如 test #\(5\)。

但是我们发现可以覆盖一个点的列是连续的区间，因为如果某一列最高点不能覆盖到一个点，整列的点都不能覆盖到这个点，而外面的列需要通过这一列，也覆盖不到。我们可以通过 dfs 计算每个点的区间左端点和右端点。

我们从左到右枚举每列最高的位置，从这里进行搜索，搜到的点的区间左端点为当前枚举到的列。我们不搜已经搜过的点，因为是从左往右搜，先搜到的一定比后搜到的更优。

题目转化为若干个限制条件 \([l_i,r_i]\) 表示区间内的数至少选一个。

我们贪心选点。假设我们上一个选点位置 \(pre\)，这一次选点位置 \(p\) 应当满足：

1. \(p\) 最右可以选到所有 \(l_i > pre\) 的限制中 \(r_i\) 的最小值，否则不满足限制。
2. \(p\) 选的越靠右越好，因为剩下的限制更少，接下来选点数更少。

发现每次直接选所有 \(l_i > pre\) 的限制中 \(r_i\) 最小值，可以对每个位置预处理得到。

这道题虽然正解是建图 \(+\) 缩点 \(+\) dp \(+\) 贪心的难度为 \(3000\) 的题，却可以简单的搜索。

一定要扔进校内模拟赛。