HDU 1452 Happy 2004(因子和的积性函数)
题意 : 给你一个X,让你求出2004的X次方的所有因子之和,然后对29取余。
思路 : 原来这就是积性函数,点这里这里这里,这里讲得很详细。
在非数论的领域,积性函数指所有对于任何a,b都有性质f(ab)=f(a)f(b)的函数。
在数论中的积性函数:对于正整数n的一个算术函数 f(n),若f(1)=1,且当a,b互质时f(ab)=f(a)f(b),在数论上就称它为积性函数。
若对于某积性函数 f(n),就算a, b不互质,也有f(ab)=f(a)f(b),则称它为完全积性的。
s(6)=s(2)*s(3)=3*4=12;
s(20)=s(4)*s(5)=7*6=42;
再看 s(50)= 1+2+5+10+25+50=93=3*31=s(2)*s(25),s(25)=1+5+25=31.
这在数论中叫积性函数,当gcd(a,b)=1时 s(a*b)=s(a)*s(b);
如果p是素数 : s(p^n)=1+p+p^2+...+p^n= (p^(n+1)-1) /(p-1)-----其实就是等比数列求和公式 (1)
再看本题 :
计算因子和 s(2004^X) mod 29 ,
2004=2^2 *3 *167
2004^X=4^X * 3^X *167^X
s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(167^X))) 而 167%29=22
s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(22^X)))
a=s(2^2X)=(2^(2X+1)-1) //根据(1)
b=s(3^X)= (3^(X+1)-1)/2 //根据(1)
c=s(22^X)= (22^(X+1)-1)/21 //根据(1)
%运算法则
1. (a*b) %p= ( a%p) *(b%p) 乘法的
2. (a/b) %p= ( a *b^(-1)%p) 除法的
s(2004^X)=(2^(2X+1)-1)* (3^(X+1)-1)/2 *(22^(X+1)-1)/21
(a*b)/c %M= a%M* b%M * inv(c)
c*inv(c)=1 %M 模为1的所有数 inv(c)为最小可以被c整除的
inv(2)=15, inv(21)=18 2*15=1 mod 29, 18*21=1 mod 29
s(2004^X)=((2^(2X+1)-1)* (3^(X+1)-1)/2 *(22^(X+1)-1)/21)mod 29 =((2^(2X+1)-1)* (3^(X+1)-1)*15 *(22^(X+1)-1)*18)mod29
b^(-1)是 b的逆元素(%p)即上面的inv
2的逆元素是15 ,因为2*15=30 % 29=1 % 29
21的逆元素是18 ,因为21*18=378% 29 =1 % 29
因此
a=(powi(2,2*x+1,29)-1)% 29;
b=(powi(3,x+1,29)-1)*15 % 29;
c=(powi(22,x+1,29)-1)*18 % 29;
ans=(a*b)% 29*c % 29;
//
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <iostream> using namespace std ; int multimod(int a,int n)//乘方模
{
int res = ;
while(n)
{
if(n & )
{
res *= a ;
res %= ;
}
a *= a ;
a %= ;
n >>= ;
}
return res ;
}
int main()
{
int x ;
while(~scanf("%d",&x))
{
if(x == ) break ;
int a = (multimod(,*x+)-) ;
int b = (multimod(,x+)-)* ;
int c = (multimod(,x+)-)* ;
printf("%d\n",(a*b*c)%) ;
}
return ;
}
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