1016: [JSOI2008]最小生成树计数 - BZOJ

Description

现在给出了一个简单无向加权图。你不满足于求出这个图的最小生成树，而希望知道这个图中有多少个不同的最小生成树。（如果两颗最小生成树中至少有一条边不同，则这两个最小生成树就是不同的）。由于不同的最小生成树可能很多，所以你只需要输出方案数对31011的模就可以了。
Input

第一行包含两个数，n和m，其中1<=n<=100; 1<=m<=1000; 表示该无向图的节点数和边数。每个节点用1~n的整数编号。接下来的m行，每行包含两个整数：a, b, c，表示节点a, b之间的边的权值为c，其中1<=c<=1,000,000,000。数据保证不会出现自回边和重边。注意：具有相同权值的边不会超过10条。
Output

输出不同的最小生成树有多少个。你只需要输出数量对31011的模就可以了。
Sample Input
4 6
1 2 1
1 3 1
1 4 1
2 3 2
2 4 1
3 4 1

Sample Output
8

网上的题解基本上没有证明（或许有，但是我没看见，然后懒得找了）

两个最小生成树的权值相同的边作用相同（连通情况）

我们可以用反证法

假设有两个最小生成树的权值相同的边作用不同，那么把最小的作用不同的权值找出来

然后我们把他们的连通情况合并（去环），需要的边肯定会变多，而且一定可以做到，相当于我们用多出来的边代替了权值比它大的边，那这与前面说的这是最小生成树矛盾

例：假设权值为1的边在一棵最小生成树里造成连通情况是（1,2）（3,4），在另一棵最小生成树里造成的连通情况是（1,4）（2,3）

那我们可以合并它们用权值为1的边做到（1,2,3,4）,来替换一条权值大于1的边，得到一颗权值更小的树

证毕.

所以我们记录每种权值的边所造成的连通情况记录下来，每个权值做一遍，乘起来就是答案（注意判断无解的情况）

 const
     maxn=;
     maxm=;
     h=;
 var
     ans,n,m,l:longint;
     u,v,w:array[..maxm]of longint;
     a:array[..,..]of longint;

 procedure swap(var x,y:longint);
 var
     t:longint;
 begin
     t:=x;x:=y;y:=t;
 end;

 procedure sort(l,r:longint);
 var
     i,j,y:longint;
 begin
     i:=l;
     j:=r;
     y:=w[(l+r)>>];
     repeat
       while w[i]<y do
         inc(i);
       while w[j]>y do
         dec(j);
       if i<=j then
       begin
         swap(u[i],u[j]);
         swap(v[i],v[j]);
         swap(w[i],w[j]);
         inc(i);
         dec(j);
       end;
     until i>j;
     if i<r then sort(i,r);
     if j>l then sort(l,j);
 end;

 function bit(x:longint):longint;
 begin
     if x= then exit();
     exit(bit(x-(x and -x))+);
 end;

 procedure init;
 var
     i,k:longint;
 begin
     read(n,m);
     for i:= to m do
       read(u[i],v[i],w[i]);
     sort(,m);
     for i:= to  do
       begin
         k:=bit(i);
         inc(a[k,]);
         a[k,a[k,]]:=i;
       end;
 end;

 var
     f,f2,vis:array[..maxn]of longint;
     xu:array[..maxm]of longint;
     time:longint;

 function find(x:longint):longint;
 begin
     if vis[x]<>time then
     begin
       f[x]:=f2[x];
       vis[x]:=time;
     end;
     if f[x]=x then exit(x);
     f[x]:=find(f[x]);
     exit(f[x]);
 end;

 function find2(x:longint):longint;
 begin
     if f2[x]=x then exit(x);
     f2[x]:=find2(f2[x]);
     exit(f2[x]);
 end;

 function flag(x:longint):boolean;
 var
     i:longint;
 begin
     i:=;
     while x> do
       begin
         inc(i);
         if x and = then
         begin
           if find(u[l+i])=find(v[l+i]) then exit(false);
           if (f[u[l+i]]<>f[v[l+i]])and(find2(u[l+i])=find2(v[l+i])) then exit(false);
           f[f[u[l+i]]]:=f[v[l+i]];
         end;
         x:=x>>;
       end;
     exit(true);
 end;

 procedure work;
 var
     i,j,s,last:longint;
 begin
     ans:=;
     for i:= to n do
       f2[i]:=i;
     for i:= to m do
       begin
         if w[i]=w[i-] then xu[i]:=xu[i-];
         if find2(u[i])<>find2(v[i]) then
         begin
           inc(xu[i]);
           f2[f2[u[i]]]:=f2[v[i]];
         end;
       end;
     for i:= to n- do
       if find2(i)<>find2(i+) then ans:=;
     for i:= to n do
       f2[i]:=i;
     l:=;
     last:=;
     for i:= to m do
       if w[i]<>w[i+] then
       begin
         s:=;
         while last<l do
           begin
             inc(last);
             f2[find2(u[last])]:=find2(v[last]);
           end;
         for j:= to a[xu[i],] do
           begin
             if a[xu[i],j]>=<<(i-l) then break;
             inc(time);
             if flag(a[xu[i],j]) then inc(s);
           end;
         l:=i;
         ans:=ans*s mod h;
       end;
     write(ans);
 end;

 begin
     init;
     work;
 end.