【UOJ】【34】多项式乘法

快速傅里叶变换模板题

算法理解请看《算法导论》第30章《多项式与快速傅里叶变换》，至于证明插值唯一性什么的看不懂也没关系啦～只要明白这个过程是怎么算的就ok。

递归版：(4252ms  23468kb)

 //UOJ 34 递归版
 #include<cmath>
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<complex>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 using namespace std;
 const int N=;
 void read(int &v){
     v=;int sign=; char ch=getchar();
     while(ch<'' || ch>'') {if (ch=='-') sign=-; ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){v=v*+ch-''; ch=getchar();}
     v*=sign;
 }
 /****************tamplate***********************/
 const double PI=acos(-);
 typedef complex<double> comp;
 comp a[N],b[N],c[N];
 void FFT(comp a[],int n,int type){
     if (n==) return;
     int i;
     comp y0[n>>],y1[n>>];
     for(int i=;i<n;i+=)
         y0[i>>]=a[i],y1[i>>]=a[i+];
     FFT(y0,n>>,type); FFT(y1,n>>,type);
     comp w0( cos(type**PI/n) , sin(type**PI/n) ), w(,);
     for(i=;i<(n>>);i++,w*=w0)
         a[i]=y0[i]+w*y1[i],a[i+(n>>)]=y0[i]-w*y1[i];
 }
 int main(){
     int i,temp,n,m;
     read(n); read(m);
     int x;
     F(i,,n) read(x),a[i].real()=x;
     F(i,,m) read(x),b[i].real()=x;
     for(temp=;temp<=m+n;temp<<=);
     FFT(a,temp,); FFT(b,temp,);
     rep(i,temp) c[i]=a[i]*b[i];
     FFT(c,temp,-);
     for(int i=;i<=m+n;++i)
         printf("%d ",int(c[i].real()/temp+0.5));
     puts("");
     return ;
 }

迭代版：（1228ms 48088kb）（空间浪费了，其实用不了这么大）

 //UOJ 34 迭代版
 #include<cmath>
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<complex>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 using namespace std;
 const int N=;
 void read(int &v){
     v=;int sign=; char ch=getchar();
     while(ch<'' || ch>'') {if (ch=='-') sign=-; ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){v=v*+ch-''; ch=getchar();}
     v*=sign;
 }
 /****************tamplate***********************/
 const double pi=acos(-);
 typedef complex<double> comp;
 comp a[N],b[N],c[N];
 int n,m;
 void FFT(comp *a,int n,int type){
     for(int i=,j=;i<n-;i++){//j初始为i-1的位逆序置换？……每次算出i的位逆序置换j，下一次从j开始找（二进制加法）
         //只改变1～n-2，0和n-1位置不变
         for(int s=n;j^=s>>=,~j&s;);//
         if (i<j) swap(a[i],a[j]);
     }
     for(int m=;m<n;m<<=){
         double u=pi/m*type; comp wm(cos(u),sin(u));
         for(int k=;k<n;k+=(m<<) ){
             comp w(,);
             for(int j=;j<m;j++){
                 comp &A=a[k+j+m],&B=a[k+j],t=w*A;
                 A=B-t; B=B+t; w=w*wm;
             }
         }
     }
     if (type==-) rep(i,n) a[i].real()/=n;
 }

 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("FFT.in","r",stdin);
 #endif
     read(n); read(m);
     int k=;
     for(k=;k<=n||k<=m;k<<=); k<<=;
     int x;
     F(i,,n) read(x),a[i].real()=x;
     F(i,,m) read(x),b[i].real()=x;
     FFT(a,k,); FFT(b,k,);
     rep(i,k) c[i]=a[i]*b[i];
     FFT(c,k,-);
     F(i,,n+m) printf("%d ",int(c[i].real()+0.5));
     return ;
 }

位逆序置换：（orz trz爷）(27~30行)

TRZ：比如我们要把一个二进制数加一，不是从最低位开始找到一个0，把它变成1，它之后的都变0嘛？那么现在我们有了i的位逆序表示，要求i+1的，不就是从最高位找0嘛，那个循环就是干这个事的。