• 转自:http://blog.csdn.net/lilongherolilong/article/details/6624390
  • 先挖好坑,明天该去郑轻找虐
  • RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题是求区间最值问题。你当然可以写个O(n)的(怎么写都可以吧=_=),但是万一要询问最值1000000遍,估计你就要挂了。这时候你可以放心地写一个线段树(前提是不写错)应该不会挂。但是,这里有更简单的算法,就是ST算法,它可以做到O(nlogn)的预处理,O(1)地回答每个询问。
  • 来看一下ST算法是怎么实现的(以最大值为例)
    •   首先是预处理,用一个DP解决。设a[i]是要求区间最值的数列,f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1,0]表示第1个数起,长度为2^0=1的最大值,其实就是3这个数。f[1,2]=5,f[1,3]=8,f[2,0]=2,f[2,1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。这样,Dp的状态、初值都已经有了,剩下的就是状态转移方程。我们把f[i,j]平均分成两段(因为f[i,j]一定是偶数个数字),从i到i+2^(j-1)-1为一段,i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^(j-1))。用上例说明,当i=1,j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。f[i,j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动规方程F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-i),j-1]).

实现代码

 /*
pku3264
大意是给你一串数字,然后问你从第i个到第j个中最大的数减去最小的数的值
用rmq求出【i,j】中的最大最小值相减即可
rmq算法思想:
一,预处理
设a[i]是要求区间最值的数列,f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。
例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7 ,f[1,0]表示第1个数起,长度为2^0=1的最大值,其实就是3这个数。
f[1,2]=5,f[1,3]=8,f[2,0]=2,f[2,1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。
这样,Dp的状态、初值都已经有了,剩下的就是状态转移方程。
我们把f[i,j]平均分成两段(因为f[i,j] 一定是偶数个数字),
从i到i+2^(j-1)-1为一段,i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^(j-1))。
用上例说明,当 i=1,j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。
f[i,j]就是这两段的最大值中的最大值。
于是我们得到了动规方程F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^(j-i),j-1]).
二,查询
如在上例中我们要求区间[2,8]的最大值,就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间,因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2,2]和f[5,2]得到。扩展到一般情况,就是把区间[l,r]分成两个长度为2^k的区间(保证有f[i,j]对应)。直接给出表达式:
k:=trunc(ln(r-l+1)/ln(2));
ans:=max(F[l,k],F[r-2^k+1,k]);
*/
#include <iostream>
#include <math.h>
#define max(a,b) ((a>b)?a:b)
#define min(a,b) (a<b?a:b) using namespace std; const int maxn=;
int h[maxn];
int mx[maxn][],mn[maxn][];
int n,q; void rmq_init()
{
int i,j,t;
for(j=;j<=n;j++) mx[j][]=mn[j][]=h[j];
int m=floor(log((double)n)/log(2.0));
for(i=;i<=m;i++){
for(j=;j<=n;j++){
t = j+(<<(i-));
if(t<=n) mx[j][i]=max(mx[j][i-],mx[t][i-]);
else mx[j][i]=mx[j][i-];
}
}
for(i=;i<=m;i++){
for(j=;j<=n;j++){
t = j+(<<(i-));
if(t<=n) mn[j][i]=min(mn[j][i-],mn[t][i-]);
else mn[j][i]=mn[j][i-];
}
}
} int rmq(int l,int r)
{
int m=floor(log((double)(r-l+))/log(2.0));
int a=max(mx[l][m],mx[r-(<<m)+][m]);
int b=min(mn[l][m],mn[r-(<<m)+][m]);
return a-b;
} int main()
{
int i,l,r;
scanf("%d%d",&n,&q);
for(i=;i<=n;i++) scanf("%d",&h[i]);
rmq_init();
for(i=;i<q;i++){
scanf("%d%d",&l,&r);
printf("%d\n",rmq(l,r));
}
return ;
}

【题目链接:NYOJ-1185

最大最小值

时间限制:1000 ms  |  内存限制:65535 KB
难度:2
描述
给出N个整数,执行M次询问。
对于每次询问,首先输入三个整数C、L、R:

如果C等于1,输出第L个数到第R个数之间的最小值;

如果C等于2,输出第L个数到第R个数之间的最大值;

如果C等于3,输出第L个数到第R个数之间的最小值与最大值的和。

(包括第L个数和第R个数)。
输入
首先输入一个整数T(T≤100),表示有T组数据。
对于每组数据,先输入一个整数N(1≤N≤10000),表示有N个整数;
接下来一行有N个整数a(1≤a≤10000);
然后输入一个整数M,表示有M次询问;
接下来有M行(1≤M≤10000),每行有3个整数C、L、R(1≤C≤3,1≤L≤R≤N)。
输出
按照题意描述输出。每个输出占一行。
样例输入
2
4
1 3 2 4
2
1 1 4
2 2 3
5
1 2 3 4 5
1
3 1 5
样例输出
1
3
6
 #include <cstdio>
#include <math.h>
#define max(a,b) ((a>b)?a:b)
#define min(a,b) (a<b?a:b) const int maxn=;
int h[maxn];
int mx[maxn][],mn[maxn][];
int n,q; void rmq_init()
{
int i,j,t;
for(j=;j<=n;j++) mx[j][]=mn[j][]=h[j];
int m=floor(log((double)n)/log(2.0));
for(i=;i<=m;i++){
for(j=;j<=n;j++){
t = j+(<<(i-));
if(t<=n) mx[j][i]=max(mx[j][i-],mx[t][i-]);
else mx[j][i]=mx[j][i-];
}
}
for(i=;i<=m;i++){
for(j=;j<=n;j++){
t = j+(<<(i-));
if(t<=n) mn[j][i]=min(mn[j][i-],mn[t][i-]);
else mn[j][i]=mn[j][i-];
}
}
}
int rmq(int l,int r)
{
int m=floor(log((double)(r-l+))/log(2.0));
int a=max(mx[l][m],mx[r-(<<m)+][m]);
int b=min(mn[l][m],mn[r-(<<m)+][m]);
return a+b;
}
int out_min(int l,int r){
int m=floor(log((double)(r-l+))/log(2.0));
int b=min(mn[l][m],mn[r-(<<m)+][m]);
return b;
}
int out_max(int l,int r){
int m=floor(log((double)(r-l+))/log(2.0));
int a=max(mx[l][m],mx[r-(<<m)+][m]);
return a;
}
int main()
{
int i,l,r;
int T,C,L,R;
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d",&n);
for(i=;i<=n;i++) scanf("%d",&h[i]);
rmq_init();
scanf("%d",&q);
while(q--){
scanf("%d%d%d",&C,&L,&R);
if(C == )
printf("%d\n",out_min(L,R));
else if(C == )
printf("%d\n",out_max(L,R));
else if(C == )
printf("%d\n",rmq(L,R));
}
}
return ;
}

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