UVA 12169 Disgruntled Judge【扩展欧几里德】

题意：随机选取x1,a,b，根据公式xi=(a*x_i-1+b)%10001得到一个长度为2*n的序列，奇数项作为输入，求偶数项，若有多种，随机输出一组答案。

思路：a和b均未知，可以考虑枚举a和b，时间复杂度为10000*10000*100，但是题目数据比较水，这样枚举也是能过的。高效的做法是：枚举a，根据以下公式求出b。

a*x1+b - MOD*y1 = x2;

a*x2+b - MOD*y2 = x3;

解得：

x3 - a*a*x1=(a+1)*b + MOD * y;

该方程为关于变量b的模线性方程 ，用扩展欧几里得算法解出一个解b0，（当gcd（a+1，MOD）==1） 则解出的为一个同余系；

b = b0 + MOD*k (k为任意整数)；（该方程对应了 b = b0 + MOD' * k ,其中MOD' 为MOD/ gcd（a+1，MOD） ）; 只需要检验一个b即可

但是当gcd（a+1，MOD）不等1时，直接用b0求解是有问题的因为解不在是MOD的同余系而是MOD‘的同余系；

所以正解应该是算出b0然后解出0 - 10000范围内的 可行b 然后检验； 算法复杂度为 O(nlogn*100);

#include<stdio.h>
#include<string.h>
const int mod=;
typedef long long ll;
ll x[];
ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(!b){
        x=,y=;
        return a;
    }
    int ans=ex_gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ans;
}
int main(){
    int n,i;
    while(~scanf("%d",&n)){
        n*=;
        for(i=;i<n;i+=){
            scanf("%lld",&x[i]);
        }
        long long a,b,c,d,y;
        for(a=;;a++){
            c=x[]-a*a*x[];
            d=ex_gcd(a+,mod,b,y);
            if(c%d)    continue;
            b=b*c/d;
            for(i=;i<=n;i++){
                if(i&){
                    if(x[i]!=(a*x[i-]+b)%mod)
                        break;
                }else
                    x[i]=(a*x[i-]+b)%mod;
            }
            if(i>n)    break;
        }
        for(i=;i<=n;i+=)
            printf("%lld\n",x[i]);
    }
    return ;
}

http://www.ithao123.cn/content-4532209.html