[BZOJ4555][TJOI2016&HEOI2016]求和(分治FFT)

4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和

Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 525  Solved: 418
[Submit][Status][Discuss]

Description

在2016年，佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数，非常开心。

现在他想计算这样一个函数的值:

S(i, j)表示第二类斯特林数，递推公式为:

S(i, j) = j ∗ S(i − 1, j) + S(i − 1, j − 1), 1 <= j <= i − 1。

边界条件为：S(i, i) = 1(0 <= i), S(i, 0) = 0(1 <= i)

你能帮帮他吗?

Input

输入只有一个正整数

Output

输出f(n)。由于结果会很大，输出f(n)对998244353(7 × 17 × 223 + 1)取模的结果即可。1 ≤ n ≤ 100000

Sample Input

3

Sample Output

87

HINT

Source

容易得到递推式，可以用CDQ分治+FFT

[l,mid]和[mid+1,r]卷起来怎么处理呢？平移数组变成[0,mid-l]和[mid-l+1,r-l+1]卷，次数界设为r-l+1即可。

代码用时:1h 比较顺利，没有低级错误。

实现比较简单，11348ms

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++)
 typedef long long ll;
 using namespace std;

 const int N=(<<)+,P=,g=;
 int n,rev[N];
 ll inv[N],fac[N],facinv[N],f[N],a[N],b[N];

 ll ksm(ll a,ll b){
    ll ans=;
    for (; b; b>>=,a=a*a%P)
       if (b & ) ans=ans*a%P;
    return ans;
 }

 void DFT(ll a[],int n,int f){
    rep(i,,n-) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for (int i=; i<n; i<<=){
       int wn=ksm(g,(f==) ? (P-)/(i<<) : (P-)-(P-)/(i<<));
       for (int p=i<<,j=; j<n; j+=p){
          int w=;
          for (int k=; k<i; k++,w=1ll*w*wn%P){
             int x=a[j+k],y=1ll*w*a[i+j+k]%P;
             a[j+k]=(x+y)%P; a[i+j+k]=(x-y+P)%P;
          }
       }
    }
    if (f==-){
       int inv=ksm(n,P-);
       rep(i,,n-) a[i]=1ll*a[i]*inv%P;
    }
 }

 void cdq(int l,int r){
    if (l==r) return;
    int mid=(l+r)>>,lim=r-l+,n=,L=;
    cdq(l,mid);
    while (n<lim) n<<=,L++;
    rep(i,,n-) rev[i]=(rev[i>>]>>)|((i&)<<(L-));
    rep(i,,n-) a[i]=b[i]=;
    rep(i,l,mid) a[i-l]=f[i];
    rep(i,,r-l) b[i]=facinv[i];
    DFT(a,n,); DFT(b,n,);
    rep(i,,n-) a[i]=a[i]*b[i]%P;
    DFT(a,n,-);
    rep(i,mid+,r) f[i]=(f[i]+*a[i-l])%P;
    cdq(mid+,r);
 }

 int main(){
    freopen("bzoj4555.in","r",stdin);
    freopen("bzoj4555.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n); inv[]=; fac[]=facinv[]=;
    rep(i,,n){
       if (i!=) inv[i]=(P-P/i)*inv[P%i]%P;
       fac[i]=fac[i-]*i%P;
       facinv[i]=facinv[i-]*inv[i]%P;
    }
    f[]=; cdq(,n); ll ans=;
    rep(i,,n) ans=(ans+f[i]*fac[i]%P)%P;
    if (ans<) ans+=P;
    printf("%lld\n",ans);
    return ;
 }