[BZOJ4204] 取球游戏（期望）

DarkBZOJ4204

(题面来源)

[题目描述]

有\(m\)个球，一开始每个球均有一个初始标号，标号范围为\(1～n\)且为整数，标号为\(i\)的球有\(a_{i}\)个，并保证\(Σa_{i} = m\)。

每次操作等概率取出一个球（即取出每个球的概率均为\(\frac{1}{m}\)），若这个球标号为\(k（k < n）\)，则将它重新标号为\(k + 1\)；若这个球标号为\(n\)，则将其重标号为\(1\)。（取出球后并不将其丢弃）

现在你需要求出，经过\(K\)次这样的操作后，每个标号的球的期望个数。

\(dp[i]:\)编号为\(i\)的球的个数

\(dp[i]=dp[i]+dp[i−1]∗\frac{1}{m}−dp[i]∗\frac{1}{m}\)

\(dp[i]=\frac{1}{m}dp[i-1]+\frac{m-1}{m}dp[i]\)

写成矩阵形式,发现是个循环矩阵(从第2行开始都是由前一行向右移一位得到的)

循环矩阵乘循环矩阵还是循环矩阵

所以只要记录第一行即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF=1e9+7;
inline LL read(){
	register LL x=0,f=1;register char c=getchar();
	while(c<48||c>57){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>=48&&c<=57)x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),c=getchar();
	return f*x;
}

const int MAXN=1005;

int dp[MAXN];
int n,m,k;

struct Matrix{
	int N;
	double a[MAXN];
	friend Matrix operator * (Matrix a,Matrix b){
		Matrix res;
		res.N=a.N;
		/*memset(res.a,0,sizeof res.a);
		for(int i=1;i<=a.N;i++)
			for(int j=1;j<=b.N;j++)
				for(int i=1;i<=a.N;i++)
					res.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];*/
		for(int i=1;i<=res.N;i++){
			res.a[i]=0;
			for(int j=1;j<=res.N;j++)
				res.a[i]+=a.a[j]*b.a[(i-j+res.N)%res.N+1];
		}
		return res;
	}
};

inline Matrix qpow(Matrix a,int b){
	Matrix res;
	res.N=a.N;
	memset(res.a,0,sizeof res.a);
	res.a[1]=1;
	while(b){
		if(b&1) res=res*a;
		a=a*a;
		b>>=1;
	}
	return res;
}

int main(){
//	freopen("asd.in","r",stdin);
	n=read(),m=read(),k=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) dp[i]=read();
	if(n==1){
		printf("%d.000\n",dp[1]);
		return 0;
	}
	Matrix t;
	t.N=n;
	memset(t.a,0,sizeof t.a);
	t.a[1]=(double)(m-1)/m;
	t.a[2]=(double)1.0/m;
	t=qpow(t,k);
	assert(t.N==n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		double ans=0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			ans+=(double)dp[j]*t.a[(i-j+t.N)%t.N+1];
		printf("%.3lf\n",ans);
	}
}