[BZOJ4204] 取球游戏(期望)
[题目描述]
有\(m\)个球,一开始每个球均有一个初始标号,标号范围为\(1~n\)且为整数,标号为\(i\)的球有\(a_{i}\)个,并保证\(Σa_{i} = m\)。
每次操作等概率取出一个球(即取出每个球的概率均为\(\frac{1}{m}\)),若这个球标号为\(k(k < n)\),则将它重新标号为\(k + 1\);若这个球标号为\(n\),则将其重标号为\(1\)。(取出球后并不将其丢弃)
现在你需要求出,经过\(K\)次这样的操作后,每个标号的球的期望个数。
\(dp[i]:\)编号为\(i\)的球的个数
\(dp[i]=dp[i]+dp[i−1]∗\frac{1}{m}−dp[i]∗\frac{1}{m}\)
\(dp[i]=\frac{1}{m}dp[i-1]+\frac{m-1}{m}dp[i]\)
写成矩阵形式,发现是个循环矩阵(从第2行开始都是由前一行向右移一位得到的)
循环矩阵乘循环矩阵还是循环矩阵
所以只要记录第一行即可
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF=1e9+7;
inline LL read(){
register LL x=0,f=1;register char c=getchar();
while(c<48||c>57){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>=48&&c<=57)x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),c=getchar();
return f*x;
}
const int MAXN=1005;
int dp[MAXN];
int n,m,k;
struct Matrix{
int N;
double a[MAXN];
friend Matrix operator * (Matrix a,Matrix b){
Matrix res;
res.N=a.N;
/*memset(res.a,0,sizeof res.a);
for(int i=1;i<=a.N;i++)
for(int j=1;j<=b.N;j++)
for(int i=1;i<=a.N;i++)
res.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];*/
for(int i=1;i<=res.N;i++){
res.a[i]=0;
for(int j=1;j<=res.N;j++)
res.a[i]+=a.a[j]*b.a[(i-j+res.N)%res.N+1];
}
return res;
}
};
inline Matrix qpow(Matrix a,int b){
Matrix res;
res.N=a.N;
memset(res.a,0,sizeof res.a);
res.a[1]=1;
while(b){
if(b&1) res=res*a;
a=a*a;
b>>=1;
}
return res;
}
int main(){
// freopen("asd.in","r",stdin);
n=read(),m=read(),k=read();
for(int i=1;i<=n;i++) dp[i]=read();
if(n==1){
printf("%d.000\n",dp[1]);
return 0;
}
Matrix t;
t.N=n;
memset(t.a,0,sizeof t.a);
t.a[1]=(double)(m-1)/m;
t.a[2]=(double)1.0/m;
t=qpow(t,k);
assert(t.N==n);
for(int i=1;i<=n;i++){
double ans=0;
for(int j=1;j<=n;j++)
ans+=(double)dp[j]*t.a[(i-j+t.N)%t.N+1];
printf("%.3lf\n",ans);
}
}
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