欧拉函数 & 【POJ】2478 Farey Sequence & 【HDU】2824 The Euler function

http://poj.org/problem?id=2478

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2824

欧拉函数模板裸题，有两种方法求出所有的欧拉函数，一是筛法，而是白书上的筛法。

首先看欧拉函数的性质：

1. 欧拉函数是求小于n且和n互质(包括1)的正整数的个数。记为φ(n)。
2. 欧拉定理：若a与n互质，那么有a^φ(n) ≡ 1(mod n),经常用于求乘法逆元。
3. 若p是一个质数,那么φ(p) = p-1，注意φ(1) = 1。
4. 欧拉函数是积性函数：（wikipedia：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A9%8D%E6%80%A7%E5%87%BD%E6%95%B8）
   1. 若m与n互质，那么φ(nm) = φ(n) * φ(m)。
   2. 若n = p^k且p为质数，那么φ(n) = p^k - p^(k-1) = p^(k-1) * (p-1)。（证明还用说么。。。一共p^k能被p整除的就有p^(k-1)个。。所以总数减去即可。。
5. 当n为奇数时，有φ(2*n) = φ(n)。
6. $\sum_{d|n} \varphi (d) = n$，这个性质很重要！

基于素数筛的求欧拉函数的重要依据：

设a是n的质因数

若(n%a == 0 && (n/a)%a == 0) 则 φ(n) = φ(n/a)*a; （性质4的1和2推出，将n变成p1^a1*p2^a2...的形式，那么当前是a，即a^ax，那么根据φ(nm) = φ(n) * φ(m)先拆成m=a^ax，即φ(m)=a^(x-1)*(a-1)，这样就是当a|m时乘上a-1，否则乘上a

若(n%a == 0 && (n/a)%a != 0) 则 φ(n) = φ(n/a)*φ(a)。（性质4的1推出）

素数筛：

poj 2478：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
#define rep(i, n) for(int i=0; i<(n); ++i)
#define for1(i,a,n) for(int i=(a);i<=(n);++i)
#define for2(i,a,n) for(int i=(a);i<(n);++i)
#define for3(i,a,n) for(int i=(a);i>=(n);--i)
#define for4(i,a,n) for(int i=(a);i>(n);--i)
#define CC(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define read(a) a=getint()
#define print(a) printf("%d", a)
#define dbg(x) cout << (#x) << " = " << (x) << endl
#define printarr2(a, b, c) for1(_, 1, b) { for1(__, 1, c) cout << a[_][__]; cout << endl; }
#define printarr1(a, b) for1(_, 1, b) cout << a[_] << '\t'; cout << endl
inline const int getint() { int r=0, k=1; char c=getchar(); for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if(c=='-') k=-1; for(; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) r=r*10+c-'0'; return k*r; }
inline const int max(const int &a, const int &b) { return a>b?a:b; }
inline const int min(const int &a, const int &b) { return a<b?a:b; }

const int N=1000005;
bool isnotprime[N];
int prime[N], phi[N], cnt;
void init() {
	phi[1]=1;
	for1(i, 2, N-1) {
		if(!isnotprime[i]) prime[++cnt]=i, phi[i]=i-1;
		for(int j=1; j<=cnt && i*prime[j]<N; ++j) {
			isnotprime[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0) { phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break; }
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
		}
	}
}

int main() {
	init(); int n;
	while(n=getint(), n) {
		long long ans=0;
		for1(i, 2, n) ans+=phi[i];
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}

hdu 2824：g++是I64d我也是醉了。。。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
#define rep(i, n) for(int i=0; i<(n); ++i)
#define for1(i,a,n) for(int i=(a);i<=(n);++i)
#define for2(i,a,n) for(int i=(a);i<(n);++i)
#define for3(i,a,n) for(int i=(a);i>=(n);--i)
#define for4(i,a,n) for(int i=(a);i>(n);--i)
#define CC(i,a) memset(i,a,sizeof(i))
#define read(a) a=getint()
#define print(a) printf("%d", a)
#define dbg(x) cout << (#x) << " = " << (x) << endl
#define printarr2(a, b, c) for1(_, 1, b) { for1(__, 1, c) cout << a[_][__]; cout << endl; }
#define printarr1(a, b) for1(_, 1, b) cout << a[_] << '\t'; cout << endl
inline const int getint() { int r=0, k=1; char c=getchar(); for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if(c=='-') k=-1; for(; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) r=r*10+c-'0'; return k*r; }
inline const int max(const int &a, const int &b) { return a>b?a:b; }
inline const int min(const int &a, const int &b) { return a<b?a:b; }

const int N=3000015;
bool isnotprime[N];
int prime[N], phi[N], cnt;
void init() {
	phi[1]=1;
	for1(i, 2, N-1) {
		if(!isnotprime[i]) prime[++cnt]=i, phi[i]=i-1;
		for(int j=1; j<=cnt && i*prime[j]<=N-1; ++j) {
			int p=prime[j];
			isnotprime[i*p]=1;
			if(i%p==0) { phi[i*p]=phi[i]*p; break; }
			else phi[i*p]=phi[i]*phi[p];
		}
	}
}

int main() {
	int l, r; init();
	while(~scanf("%d%d", &l, &r)) {
		long long ans=0;
		for1(i, l, r) ans+=phi[i];
		printf("%I64d\n", ans);
	}
	return 0;
}

还有一种筛法，不需要求素数。。。有待研究。复杂度比前一种多了两个log，是nloglogn的。。。orz。还是用线性的素数筛吧。。