截断正态分布（Truncated normal distribution）

Truncated normal distribution - Wikipedia

Normal Distribution 称为正态分布，也称为高斯分布，Truncated Normal Distribution一般翻译为截断正态分布，也有称为截尾正态分布。

截断正态分布是截断分布(Truncated Distribution)的一种，那么截断分布是什么？截断分布是指，限制变量x 取值范围(scope)的一种分布。例如，限制x取值在0到50之间，即{0<x<50}。因此，根据限制条件的不同，截断分布可以分为：

• 2.1 限制取值上限，例如，负无穷<x<50
• 2.2 限制取值下限，例如，0<x<正无穷
• 2.3 上限下限取值都限制，例如，0<x<50

正态分布则可视为不进行任何截断的截断正态分布，也即自变量的取值为负无穷到正无穷；

1. 概率密度函数

假设 X 原来服从正太分布，那么限制 x 的取值在（a，b）范围内之后，X 的概率密度函数，可以用下面公式计算：

f(x;μ,σ,a,b)=1σϕ(x−μσ)Φ(b−μσ)−Φ(a−μσ)

• 其中 ϕ(⋅)：均值为 0，方差为 1 的标准正态分布；

  ϕ(ξ)=12π−−√exp(−12ξ2)

• Φ(⋅) 为标准正态分布的累积分布函数；

• 对其分母部分的一些简单认识，
  
  • b→∞，⇒ Φ(b−μσ)=1
  • a→−∞ ⇒ Φ(a−μσ)=0