Toeplitz matrix 与 Circulant matrix

之所以专门定义两个新的概念，在于它们特殊的形式，带来的特别的形式。

1. Toeplitz matrix

• 对角为常数；

n×n 的矩阵 A 是 Toepliz 矩阵当且仅当，对于 Ai,j 有：

Ai,j=Ai+1,j+1=ai−j

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢afghibafghcbafgdcbafedcba⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

.

i−j 表示行号减去列号，对于 n×n 的 Toeplize 矩阵共 2n−1 个不同的值，即 a1−n,a2−n,…,a−1,0,a1,…,an−1。

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢a0a1a2⋮⋮an−1a−1a0a1⋱…a−2a−1⋱⋱⋱……⋱⋱⋱a1a2…⋱a−1a0a1a−(n−1)⋮⋮a−2a−1a0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

2. Toeplize 矩阵与卷积和傅里叶变换到关系

长度为 n 的信号 x，与长度为 m 的卷积核 h，二者之间的卷积可通过矩阵乘法的方式计算：

y=h∗x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢h1h2h3⋮hm−1hm00⋮00h1h2h3⋮hm−1hm0⋮0……………⋮……⋮00⋮0h1h2⋮hm−2hm−1hm…0⋮00h1h2⋮hm−2hm−1hm⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢x1x2x3⋮xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

同样地根据卷积的性质，也有：

yT=[h1h2h3…hm−1hm]⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢x100⋮00x2x10⋮……x3x2x1⋮00…x3x2⋮00xn…x3⋮x100xn………x100xn⋮xn−2…000⋮xn−1xn−2…………xnxn−10000⋮xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥.

• 由左边的 Toeplize 矩阵可知，Toeplize 矩阵不必是方阵；下面来看该矩阵的维度信息，如下图所示：

  

  上面在 wikipedia 中复制过来的矩阵信息其实是当 n<m 时的情形，且 n=m−1。

3. Circulant matrix

是一种特殊的 Toeplitz 矩阵。

如下为一个 Circulant matrix 的基本形式：

C=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢c0c1⋮cn−2cn−1cn−1c0c1cn−2…cn−1c0⋱…c2⋱⋱c1c1c2⋮cn−1c0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥.

在 Toeplize 的基础上，Circulant 进一步的要求是每一个行向量，是前一个行向量的循环右移一个元素。