有s个系统,n种bug,小明每天找出一个bug,可能是任意一个系统的,可能是任意一种bug,即是某一系统的bug概率是1/s,是某一种bug概率是1/n。

求他找到s个系统的bug,n种bug,需要的天数的期望。

分析

计算期望E=∑所有可能需要的天数*概率

找到s个系统n种bug,需要最少max(s,n)天,而可能的天数是无穷的,这样计算很复杂,复杂到算不了。

所以考虑dp,期望E=∑(昨天可以转移到现在状态的所有可能的情况的期望+1)*概率=∑(昨天可以转移到现在状态的所有可能的情况的期望)*概率 +1

一开始我想用dp[i][j]表示已经找到i种bug,j个系统里找到bug,的期望天数,但是这样不能推出来,由【i-1,j】【i,j-1】【i,j】【i-1,j-1】四种状态推的话,需要1天的概率我们知道,但是这四种情况的概率加起来不等于1,也就是还有需要2天3天...的情况,概率很复杂计算更复杂(回到上面的复杂去了)

所以要dp[i][j]表示已经找到i种bug,j个系统里找到bug,离目标还需要的期望天数。

好,如果明天找到一个bug。

它就可以转移到这里:

dp[i+1][j]  不属于i种,属于j个系统之一。  概率为p1=(n-i)/n* j/s 。

dp[i][j+1]  属于i种之一,不属于j个系统。    概率为p2=(s-j)/s* i/n

dp[i+1][j+1]  不属于i种,不属于j个系统。     概率为p3=(n-i)/n*(s-j)/s

dp[i][j]      属于i种之一,属于j个系统之一。  概率为p4=i/n* j/s

也就是比如找到了新种类,已知系统的bug,那明天离到达目标的期望天数就是dp[i+1][j],那就是今天还差dp[i+1][j]+1天。

dp[i][j]就是它找到的没有用的bug,那明天浪费了,那今天还差dp[i][j]+1天。今天和明天的dp[i][j]是一样的。

p1+p2+p3+p4=1,所以有下面这个式子。

dp[i][j]=dp[i+1][j]*p1+dp[i][j+1]*p2+dp[i+1][j+1]*p3+dp[i][j]*p4 +1

移项然后变成这样:dp[i][j]= ( n*s + (n-i)*j*dp[i+1,j] + i*(s-j)*dp[i,j+1] + (n-i)*(s-j)*dp[i+1,j+1] )/( n*s - i*j )

我们知道dp[n][s]=0,就是已经到达目标,还需要0天。然后逆推。

代码

#include<cstdio>
#define N 1005
double d[N][N];
int main()
{
int n,s;
scanf("%d%d",&n,&s);
for(int i=n; i>=; i--)
for(int j=s; j>=; j--)
{
if(i!=n||j!=s)
d[i][j]=(d[i+][j]*(n-i)*j+d[i][j+]*i*(s-j)+d[i+][j+]*(n-i)*(s-j)+n*s)/(n*s-i*j);
}
printf("%.4f",d[][]);
return ;
}

  

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