BZOJ 1233 干草堆 (单调队列优化DP)

$ BZOJ₁₂₃₃~ $ 干草堆： （题目特殊性质）

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$ solution: $

很妙的一道题目，开始看了一眼觉得是个傻逼贪心，从后往前当前层能多短就多短，尽量节省花费。但是这是DP专题，怎么会有一道小贪心混进来？上网一搜，我果然还是太笨了！

6
11 10 7 3 2 6

这组小数据直接把贪心逼上绝路，如果顶层只有6（6-237-1011），只有三层。而如果顶层宽一点（62-37-10-11），就有四层了。什么！我之前好心节省草包，居然办了坏事？

好吧，题目限定了每一个草包都必须用，这样贪心是有后效性的（你节省的草包改变了下一阶段的状态）。于是我们只好DP，可是我们要维护的东西可就多了：（当前是第几个草包）（最下面一层多宽）（整个干草堆的高度）而题目数据范围只允许我们 $ n~logn $ ，这差距还是有点的，所以我们需要研究题目的性质。

性质： 最下面一层最窄的干草堆一定包含高度最高的最优解。

任意取出一个能使层数最高的方案，设有CA层，把其中从下往上每一层最大的块编号记为Ai；任取一个能使底边最短的方案，设有CB层，把其中从下往上每一层最大的块编号记为Bi。显然A1>=B1,ACB<=BCB，这说明至少存在一个k属于(1,CB)，满足Ak-1>=Bk-1且Ak<=Bk。也就是说，方案 A 第K 层完全被方案 B 第K 层包含。构造一个新方案，第K 层往上按方案 A，往下按方案 B，两边都不要的块放中间当第K 层。新方案的层数与 A 相同，而底边长度与 B 相同。证毕。  -----引用

然后我们就可发现我们的底层宽度和整个干草堆的高度是相关联的，我们可以在DP最下面一层宽度的同时记录一下高度即可。就像我们的题目变成了求干草堆底层最窄的方案（方案包含高度）。而为了更好的求底层最窄，我们可以从后往前DP，我们设 $ f[i] $ 表示到倒数第i个干草堆底层最窄的宽度。然后转移就变成了：

$ f[i]=min{s[i]-s[j] }\quad j>i,s[i]-s[j]>f[j] $

(设 $ s[i] $ ) 表示从i开始到最后一个草包的宽度之和（就是后缀和）

然后我们发现这个东西 $ s[i]-s[j] ,s[i]-s[j]>f[j] $ 很难维护，显然我们需要 $ j $ 尽量小，但是小的 $ j $ 并不一定满足 $ s[i] - s[j]>f[j] $ 于是我们用单调队列来维护。

单调队列的 $ j $ 应该从大到小排序，且只有第一个是满足 $ s[i]-s[j]>f[j] $ （因为如果后一个也满足，它的j又小，一定更优），在DP过程中当第二个也满足时，第一个显然失去最优效果（于是删除对首）。然后小的 $ j $ 在加入优先队列时，可以根据定义式（ $ f[i]=min{s[i]-s[j] } $ ）从后往前淘汰掉比它不优的 $ j $ （具体见代码）

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$ code: $

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>

#define ll long long
#define db double
#define rg register int

using namespace std;

int n,tt;
int a[100005];
int s[100005];
int q[100005];
int h[100005];
int f[100005];

inline int qr(){
	register char ch; register bool sign=0; rg res=0;
	while(!isdigit(ch=getchar()))if(ch=='-')sign=1;
	while(isdigit(ch))res=res*10+(ch^48),ch=getchar();
	if(sign)return -res; else return res;
}

int main(){
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	n=qr(); q[++tt]=n+1; rg l=1,r=1;
	for(rg i=1;i<=n;++i) a[i]=qr();
	for(rg i=n;i>=1;--i) s[i]=s[i+1]+a[i];
	for(rg i=n;i>=1;--i){ //注意是从后往前枚举！j 一定大于 i ！
		while(l<r&&s[i]>=f[q[l+1]]+s[q[l+1]])++l; //后面的j比前面小，比当前这个优，只不过可能不满足s[i]-s[j]>f[j]
(设 $ s[i] $ ) 表示从i开始到最后一个草包的宽
		f[i]=s[i]-s[q[l]]; h[i]=h[q[l]]+1;
		while(l<=r&&f[q[r]]+s[q[r]]>f[i]+s[i])--r;
		q[++r]=i;
	}printf("%d\n",h[1]);
	return 0;
}