Description

  • \(n\in[1,500],k\in[2,10]\)。

Solution

  • 这是一道有点很有难度的题。

  • 先考虑判断一个数是否在数列\(a\)中。由于每次加的数是在\([0,k)\)的范围内,所以个位不定,但除个以外的位可以任意取值。
  • 考虑DP。记个位为第\(1\)位,设\(g_{i,p,x,a}\)表示我们构造的数第\(2\sim i\)位为0,第\(i\sim\infty\)位中最大的位值为\(p\),个位为\(a\),此时我们要将第\(i\)位刚好填到\(x\),个位变成了多少。
  • 初值的话,可以暴力算出\(i\in[1,2]\)时的\(g\)。
  • 不进位的转移显然。进位时,比如我们想算\(g_{i+1,p,1,a}\)的值,它可以由\(g_{i,k-1,1,a'}\)转移而来(\(a'\)表示我们在第\(i\)位填\(k-1\)次\(1\)后\(a\)会变成的数)。

  • 然后做树形DP。如果我们沿着子树节点序列转移,那么实际上就是沿着dfs序转移,可以转移到\(dfn[i]\)的范围是\([dfn[fa[i]],dfn[i])\)。
  • 设\(dp_{dfn[x],j,p,a}\)表示我们做到点\(x\),考虑到第\(j\)位(第\(j\)位放\(d[x]\)),前面的位的最大值为\(p\),个位为\(a\)的合法方案数。初值显然是\(dp_{1,j,d[1],g_{j,0,d[1],1}}=1\)。
  • 转移的话,一定是从\(dp_{i',j,p,x}\)转移到\(dp_{i,j-1,max(p,d),g_{j-1,p,d,x}}\),其中\(i'<i\)。这个可用前缀和优化。

  • 时空复杂度:\(O(nk^2(n+k))\)。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std; const int N=505,K=11,mo=998244353; int n,k,g[N][K][K][K],u,d[N],x,y,ti,dfn[N],dp[N][N][K][K],ans;
bool e[N][N]; void P(int&x,int y) {x=(x+y)%mo;} void dfs(int u,int fa)
{
if(!ti++)
fo(j,1,n)
{
int x=g[j][0][d[u]][1];
dp[ti][j][d[u]][x]=1;
}
else
fo(j,2,n) fo(p,0,k-1) fo(x,0,k-1)
{
int p1=max(p,d[u]), x1=g[j-1][p][d[u]][x];
if(~x1) P(dp[ti][j-1][p1][x1],(mo+dp[ti-1][j][p][x]-dp[dfn[fa]-1][j][p][x])%mo);
P(dp[ti][j-1][p][x],dp[ti-1][j-1][p][x]);
}
fo(x,d[u],k-1) P(ans,(mo+dp[ti][1][x][d[u]]-dp[ti-1][1][x][d[u]])%mo);
dfn[u]=ti;
fo(v,1,n) if(v^fa&&e[u][v]) dfs(v,u);
} int main()
{
freopen("buried.in","r",stdin);
freopen("buried.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&k);
memset(g,-1,sizeof g);
fo(p,0,k-1)
{
g[1][p][0][0]=0;
fo(x,0,k-1)
if(p|x)
{
int y=x;
while(y<k)
{
g[1][p][y][x]=y;
y+=max(p,y);
}
g[2][p][1][x]=y-k;
}
}
fo(i,2,n)
fo(p,0,k-1)
fo(a,0,k-1)
{
g[i][p][0][a]=a;
if(!~(u=g[i][p][1][a])) continue;
fo(x,2,k-1) if(!~(u=g[i][p][x][a]=g[i][max(p,x-1)][1][u])) break;
if(~u) g[i+1][p][1][a]=g[i][k-1][1][u];
}
fo(i,1,n) scanf("%d",&d[i]);
fo(i,1,n-1) scanf("%d%d",&x,&y),e[x][y]=e[y][x]=1;
dfs(1,0);
printf("%d",ans);
}

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