给定一个序列,求出它的最长上升子序列或者是最长不下降子序列的长度 或者输出这个子序列

一、动态规划 O(n^2)

1.求长度

首先来讨论最长上升子序列的情况,即子序列是严格上升的

假如我们以dp[i]表示以a[i]为结尾的上升子序列的长度 那么对于 j (1<=j<i),如果a[j]<a[i],很显然:

dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);
当然先要赋初值,dp[i]=1,因为一开始只有它自己组成这个序列
最后每次计算出dp[i]之后都要对答案进行更新
至于最长不下降子序列,只需要把a[j]<a[i]改为a[j]<=a[i]即可

代码:

#include <bits/stdc++.h>  

using namespace std; 

int anss=,i,n,j,a[],dp[];

int main()
{
cin>>n;
for(i=;i<n;i++)
{
cin>>a[i];
}
for(i=;i<n;i++)
{
dp[i]=;
for(j=;j<i;j++)
{
if(a[j]<a[i]) //如果是最长不下降子序列就改为 if(a[j]<=a[i])
{
dp[i]=max(dp[j]+,dp[i]);
}
}
if(dp[i]>anss)
anss=dp[i];
}
cout<<anss<<endl;
}

2.求序列

只需要从dp数组向前遍历,找到dp[i]==anss的之后再找dp[i]==anss-1的....以此类推即可

#include <bits/stdc++.h>  

using namespace std; 

int anss=,i,n,j,a[],dp[];

int main()
{
cin>>n;
for(i=;i<n;i++)
{
cin>>a[i];
}
for(i=;i<n;i++)
{
dp[i]=;
for(j=;j<i;j++)
{
if(a[j]<a[i])
{
dp[i]=max(dp[j]+,dp[i]);
}
}
if(dp[i]>anss)
anss=dp[i];
}
cout<<anss<<endl;
}

不过通常最长上升子序列的解是不唯一的,长度是唯一的。

二、贪心 O(nlogn)

对于一个上升子序列,显然其结尾元素越小,越有利于在后面接其他的元素,也就越可能变得更长。

因此,我们只需要维护 dp 数组(虽然已经不是动态规划了),对于每一个a [ i ],如果a [ i ]能接到 LIS 后面,就接上去;否则,就用 a [ i ] 取更新 dp数组:在dp数组中找到第一个大于等于a [ i ]的元素dp[ j ],用a [ i ]去更新dp [ j ]。怎么找到第一个大于等于的元素呢?只需要使用lower_bound()函数即可。
至于最长不下降子序列,只需要将 “在dp数组中找到第一个大于等于a [ i ]的元素dp[ j ]” 这一步改为找到第一个大于的元素即可。同样的将lower_bound换成upper_bound()

1.代码

#include <bits/stdc++.h>  

using namespace std; 

int anss=,i,n,j,a[],dp[],temp;

int main()
{
cin>>n;
for(i=;i<n;i++)
{
cin>>a[i];
dp[i]=0x7ffffff;
}
for(i=;i<n;i++)
{
temp=lower_bound(dp,dp+n,a[i])-dp;
if(temp+>anss)
{
anss++;
}
dp[temp]=a[i];
}
cout<<anss<<endl;
}

2.求序列

只需要另外开一个数组b,记录dp[i]的位置,然后从b数组向前遍历,找到b[i]==anss的之后再找b[i]==anss-1的....以此类推

#include <bits/stdc++.h>  

using namespace std; 

int anss=,i,n,j,a[],dp[],temp,b[],c[];

int main()
{
cin>>n;
for(i=;i<n;i++)
{
cin>>a[i];
dp[i]=0x7ffffff;
}
for(i=;i<n;i++)
{
temp=lower_bound(dp,dp+n,a[i])-dp;
if(temp+>anss)
{
anss++;
}
dp[temp]=a[i];
b[i]=temp;
}
cout<<anss<<endl;
temp=anss-;
for(i=n-;i>=;i--)
{
if(b[i]==temp)
{
c[temp]=a[i];
temp--;
}
}
for(i=;i<anss;i++)
{
cout<<c[i]<<' ';
}
}

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