BZOJ 2731 Luogu P3219 [HNOI2012]三角形覆盖问题 (扫描线)

题目链接: (bzoj)https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2731

(luogu)https://www.luogu.org/problemnew/show/P3219

题解: 先讲一种复杂度明显不对但是本题数据跑得很快的做法: 先按底边\(y\)坐标排序，从下往上扫，每扫到一行链表维护当前的所有区间，另外再开个数组记录每个横坐标被覆盖的次数。复杂度\(O(\sum d_i)\)

然后ckw巨佬的做法: 按底边\(y\)坐标排序，找出所有三角形的最左点和最右点的\(x\)坐标作为关键点，按\(x\)坐标从左到右扫每一个关键点。

对于每相邻两个关键点之间的区间，找到所有包含它的三角形，那么每个三角形在此区间内一定是一个梯形，分类讨论（注意到我们已经按底边纵坐标排好序了）

如果上面的梯形顶端比下面的梯形顶端低，那么什么也不用做；

如果上面的梯形底端比下面的梯形顶端高，那么直接把下面梯形面积加入答案然后用上面梯形取代即可；

否则i，如果上面的梯形的底边比下面的梯形的右上点低，那么把两个梯形拼成一个梯形即可；

如果上面的梯形的底边比下面梯形的右上点高，那么计算下面梯形不被上面覆盖的面积（一个矩形减一个等腰直角三角形）加入答案，然后用上面梯形取代。

时间复杂度\(O(n^2)\)

(ckw: “这种SB题有什么做的必要么”)

代码

做法一

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<algorithm>
#define llong long long
using namespace std;

const int N = 1e4;
const int C = 2e6;
struct Point
{
	llong x,y;
	Point() {}
	Point(llong _x,llong _y) {x = _x,y = _y;}
};
struct Triangle
{
	Point x; llong d;
	bool operator <(const Triangle &arg) const {return x.y<arg.x.y;}
};
struct Element
{
	int lb,rb,nxt,prv;
} cur[N+3];
Triangle a[N+3];
int num[C+3]; //±»¸²¸Ç´ÎÊý
int n,cnt;

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&a[i].x.x,&a[i].x.y,&a[i].d);
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	int j = 0; llong ans = 0ll,tmp = 0ll;
	for(int i=0; i<=C; i++)
	{
		//±éÀúÁ´±í£¬É¾µô¸ÃɾµÄ
		for(int k=cur[0].nxt; k!=0; k=cur[k].nxt)
		{
			num[cur[k].rb]--; if(num[cur[k].rb]==0) tmp--;
			cur[k].rb--; if(cur[k].lb>=cur[k].rb) {cur[cur[k].prv].nxt = cur[k].nxt; cur[cur[k].nxt].prv = cur[k].prv;}
		}
		ans += tmp;
		//¼ÓÈëÒÔ´ËΪµ×±ßµÄÈý½ÇÐÎ
		while(j<n && a[j+1].x.y==i)
		{
			j++;
			if(a[j].d==0) continue;
			for(int k=a[j].x.x+1; k<=a[j].x.x+a[j].d; k++)
			{
				num[k]++; if(num[k]==1) tmp++;
			}
			cnt++; cur[cnt].prv = cur[0].prv; cur[cur[cnt].prv].nxt = cnt; cur[0].prv = cnt; cur[cnt].nxt = 0;
			cur[cnt].lb = a[j].x.x; cur[cnt].rb = a[j].x.x+a[j].d;
		}
		ans += tmp;
	}
	for(int i=0; i<=C; i++) assert(num[i]==0);
	printf("%lld",ans/2); if(ans&1) printf(".5"); else printf(".0");
	return 0;
}

做法二

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define llong long long
using namespace std;

const int N = 1e4;
const int C = 2e6;
struct Point
{
	llong x,y;
	Point() {}
	Point(llong _x,llong _y) {x = _x,y = _y;}
};
struct Triangle
{
	Point x; llong d;
	bool operator <(const Triangle &arg) const {return x.y<arg.x.y;}
};
Triangle a[N+3];
vector<int> ky;
int n,cnt;

llong sqr(llong x) {return x<0ll ? 0ll : x*x;}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&a[i].x.x,&a[i].x.y,&a[i].d);
		if(a[i].d==0) continue;
		ky.push_back(a[i].x.x); ky.push_back(a[i].x.x+a[i].d);
	}
	sort(ky.begin(),ky.end());
	ky.erase(unique(ky.begin(),ky.end()),ky.end());
	sort(a+1,a+n+1);
	llong ans = 0ll;
	for(int i=1; i<ky.size(); i++)
	{
		int dn = 0,up = 0; //upl
		for(int j=1; j<=n; j++)
		{
			if(a[j].d==0) continue;
			if(a[j].x.x<=ky[i-1] && a[j].x.x+a[j].d>=ky[i])
			{
				if(dn==0 && up==0) {dn = a[j].x.y; up = a[j].x.y+a[j].d-(ky[i-1]-a[j].x.x);}
				else
				{
					if(a[j].x.y>up)
					{
						ans += 2ll*(up-dn)*(ky[i]-ky[i-1])-sqr(ky[i]-ky[i-1]);
						dn = a[j].x.y; up = a[j].x.y+a[j].d-(ky[i-1]-a[j].x.x);
					}
					else if(a[j].x.y+a[j].d-(ky[i-1]-a[j].x.x)>up)
					{
						ans += 2ll*(ky[i]-ky[i-1])*(a[j].x.y-dn);
						if(a[j].x.y>up-(ky[i]-ky[i-1])) {ans -= sqr(a[j].x.y-(up-(ky[i]-ky[i-1])));}
						dn = a[j].x.y; up = a[j].x.y+a[j].d-(ky[i-1]-a[j].x.x);
					}
				}
			}
		}
		if(up==0 && dn==0);
		else {ans += 2ll*(up-dn)*(ky[i]-ky[i-1])-sqr(ky[i]-ky[i-1]);}
	}
	printf("%lld",ans/2); if(ans&1) printf(".5"); else printf(".0");
	return 0;
}