《算法问题实战策略》-chaper14-整数论

Lucas定理：

在组合计数问题中，我们常面临组合数C(n,m)过大而无法直接计算的困境，那么这里的Lucas定理给出了一个较大组合数进行取余运算的一种递归算法。

什么是Lucas定理？

Lucas定理的推导证明？

这个推导过程基于二项式定理，基于最后的等式，我们通过过找等是左边和右边x^(tp + r)的系数，即可完成对Lucas定理的证明。但是这里并没有呈现对p为什么是素数的说明。

在这里我们给出Lucas定理的另外一种表达形式：

我个人认为，限定了取模的数p是素数，这样统一了运算，即对于∏中每个因子，C(mi,ni) % p的运算，我们都能够结合逆元和费马小定理来进行化简运算。

Lucas定理的编程实现？

通过上图Lucas的定义我们其实已经看到，它是一种递归调用的过程。

然后结合一个题目(Problem source : hdu 3037)来对其进行实现：

Q:给出变量n，m，p，求解x1+x2+x3+…xn = x的解的组数，x∈[0,m]。

分析：首先我们面临不存在空树的情况，利用基本的隔板原理()，容易得到C(m-1，n)组，这显而易见。但是问题的关键在于是允许空树存在的，因此我们需要另外选取空树的数量，即在选取的m-1个元素中再加n个树，在其中选择共选出n-1个空树和隔板，得到C(n+m-1,n-1)即C(n+m-1,m)。

则这道题目的最终解就是∑C(n+m-1,i) = C(n +m,m)，i∈[1,m].（二项式系数恒等式，可以参见《具体数学》）

下面是编程实现。

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstring>

using namespace std;

const int N =;

long long n, m, p, fac[N];

void init()

{

    int i;

    fac[] =;

    for(i =; i <= p; i++)

        fac[i] = fac[i-]*i % p;

}

long long pow(long long a, long long b)

{

    long long tmp = a % p, ans =;

    while(b)

    {

        if(b & )  ans = ans * tmp % p;

        tmp = tmp*tmp % p;

        b >>=;

    }

    return  ans;

}

long long C(long long n, long long m)

{

    if(m > n)  return ;

    return  fac[n]*pow(fac[m]*fac[n-m], p-) % p;

}

long long Lucas(long long n, long long m)  //C(n,m) % p

{

    if(m ==)  return ;

    else return  (C(n%p, m%p)*Lucas(n/p, m/p))%p;

}

int main()

{

    int t;

    scanf("%d", &t);

    while(t--)

    {

        scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &p);

        init();        printf("%I64d\n", Lucas(n+m, m));

    }

    return ;

}

Ps：这里补充说明一下，上面笔者对于p是素数的必要性的解释过于牵强，证明一开始C(p，f) = 0(mod p)是基于素数才成立的，然后基于此我们才能够完成(1+x)^p = 1 + x^p(mod p)的转化。这样就更加充分解释了Lucas定理p是素数的合理性。