【XSY2962】作业 数学

题目描述

　　有一个递推式：

\[\begin{align}
f_0&=1-\frac{1}{e}\\
f_n&=1-nf_{i-1}
\end{align}
\]

　　求 \(f_n\)

　　\(n\leq 10000\)

题解

　　如果直接按照式子推的话会爆精度，因为误差是阶乘级别放大的。

　　但是我们可以逆过来递推。

\[\begin{align}
f_\infty&=0\\
f_{n-1}&=\frac{1-f_n}{n}
\end{align}
\]

　　这样误差就是不断缩小的。

　　或者你直接推式子也是可以的。

\[\begin{align}
f_n&=n!\sum_{i=0}^n\frac{{(-1)}^{n-i}}{i!}-n!{(-1)}^n\frac{1}{e}\\
&=n!\sum_{i=0}^n\frac{{(-1)}^{n-i}}{i!}-n!{(-1)}^n\sum_{i\geq 0}\frac{{(-1)}^i}{i!}\\
&=n!{(-1)}^n\sum_{i>n}\frac{{(-1)}^i}{i!}\\
\end{align}
\]

　　然后算个一万项就行了。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
int n;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	double ans=0,s=1;
	for(int i=n+1;i<=20000;i++)
	{
		s/=i;
		ans-=(i&1?-1:1)*s;
	}
	ans*=(n&1?-1:1);
	printf("%.4lf\n",ans);
	return 0;
}