NOIP2011 D2T3 观光公交 做题笔记

目录

• 归纳题目的性质
• 算法
  • 60分
  • 100分
  • code
  • 大家来找茬
• 总结

归纳题目的性质

每一个加速器效果相同(1)

车子等到所有人上车之后才会发车, 这个最早发车时间不由加速器的配比决定(2)

要优化的对象: "所有人搭车时间总和". (3)

算法

根据性质(2), 我们可以预处理出这个"最早发车时间", 记为\(start_i\)

60分

根据(2), (3)设计算法, 想到DP.

令站点i, 使用加速器个数为j的最晚发车时间为\(dp_{i, j}\)(蕴含性质1), 则可以由\(dp_{i, j} \rightarrow dp_{i+1, k}(k>j)\), 其中贡献可以预处理(思考性质3)

复杂度\(O(nk^2)\)

100分

思考贪心: 把整个列车系统看成一个整体(前一个算法是把每一站分拆), 将每个加速器的贡献拆开. (性质1)

思考加速器的性质 : 在每一站使用都相同(令其为性质4), 考虑枚举在当前状态下哪一站加速最佳.(在\(O(n)\)内)

定义如下符号:

\[rb_i: 加速器设在第i站的影响范围(先不解释)\\
tim_i: 在当前状态下, 汽车到达i站最佳时间\\
l_i: i\rightarrow i+1 时间
\]

这个算法的关键是\(rb_i\)数组, 请看定义, 不理解没关系

\[rb_i = i+1\ \text{if not ok_to_opt}\\
\text{else } rb_i = rb_{i+1}
\]

如果在第i站至i+1站的路程中使用加速器, 目的地\(\in[i+1,rb_i]\) 的人这些人消耗时间会-1s:

为什么?

把目的地\(\in[i+1,rb_i]\) 的人分为2类:

1. 出发地\(\leq\)i.
2. 出发地\(>\)i

第1类人显然消耗时间会减少1s

第2类人虽然在\(i\rightarrow i+1\)的路程中没有减少消耗时间, 但是由于发车时间提前了1s(根据\(rb_i\)的定义), 他们消耗时间也会减少1s (这个我一开始没有想到)....

而那些目的地\(>rb_i\)的人来说, 发车时间太晚, \(tim_{rb_{i+1}}\)的减小无济于事...

经过k次迭代我们就做完啦(滑稽)

complexity \(O(nk)\), it's unexpected but it works(and also fast)!

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int read() {
    int f = 1, ans = 0; char c = getchar();
    while(!isdigit(c)) {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(isdigit(c)) {ans = ans * 10 + c - '0', c = getchar();}
    return ans * f;
}
#define rep(i, _st, _ed) for(register int i = (_st); i <= (_ed); ++i)
const int maxm = 10005, maxn = 1005, maxk = 1e5+5;
int leave[maxn], dis[maxn], endp[maxn], rg[maxn], t[maxn]; //range是关键字
int st[maxm], ed[maxm], arri[maxm];
int n, m, k, ans;

void test() { int tmp = read(); printf("%d\n", tmp);}
void put(int x) {printf("%d\n", x);}
signed main(){
//	while(1)test();
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);
    rep(i, 1, n-1) dis[i] = read();
    rep(i, 1, m) arri[i] = read(), st[i] = read(), ed[i] = read();
    rep(i, 1, m) {
        leave[st[i]] = max(leave[st[i]], arri[i]);
        endp[ed[i]]++;
    }
    rep(i, 2, n) endp[i] += endp[i-1]; // endp[i] is prefix sum
    ans = 0;
    rep(i, 1, n) t[i] = max(leave[i-1], t[i-1]) + dis[i-1]; //, put(t[i]);
    rep(i, 1, m) ans = ans + t[ed[i]] - arri[i];
    //errorcode : ans = ans + t[ed[i]] - t[st[i]];
    //一些预处理工作
//	put(ans);
    while(k--){
        rg[n] = n;
        for(int i = n-1; i >= 1; --i) {
            if(t[i+1] > leave[i+1]) rg[i] = rg[i+1];
            else rg[i] = i + 1;
//            put(rg[i]);
        }
//        put(0);
        int opt = 0, pos = 0;
        rep(i, 1, n-1) {
            if(dis[i] > 0 && endp[rg[i]] - endp[i] > opt) {
				opt = endp[rg[i]] - endp[i];
				pos = i;
			}
        }
        if(pos==0) break;
        ans -= opt;
        --dis[pos]; //don't forget to update the distance!!
        rep(i, pos, n) t[i] = max(leave[i-1], t[i-1]) + dis[i-1];
        //don't forget to update the arrival time!!
    }
    put(ans);
    return 0;
}

大家来找茬

这是我的一个错误版本代码, 有5处bug..

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

// #prag\ma G++ optimize("O3")

int read() {
    int f = 1, ans = 0; char c = getchar();
    while(!isdigit(c)) {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(isdigit(c)) {ans = ans * 10 + c - '0', c = getchar();}
    return ans * f;
}
#define rep(i, _st, _ed) for(register int i = (_st); i <= (_ed); ++i)
const int maxm = 10005, maxn = 1005, maxk = 1e5+5;
int leave[maxn], dis[maxn], endp[maxn], rg[maxn], t[maxn]; //range是关键字
//t[i]为从第i站出发的时间
int st[maxm], ed[maxm], arri[maxm];
vector<int> d_set[maxn]; //从第i站出发人员集合
int n, m, k, ans;
void test() { int tmp = read(); printf("%d\n", tmp);}
signed main(){
	test();
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);
    rep(i, 1, n-1) dis[i] = read();
    rep(i, 1, m) arri[i] = read(), st[i] = read(), ed[i] = read();
    rep(i, 1, m) {
        leave[ed[i]] = max(leave[ed[i]], arri[i]);
        d_set[st[i]].push_back(ed[i]);
        endp[ed[i]]++;
    }
    ans = 0;
    rep(i, 2, n) endp[i] += endp[i-1]; // endp[i] is prefix sum
    rep(i, 1, n) t[i] = max(leave[i], t[i-1] + dis[i-1]);
    rep(i, 1, m) ans = ans + t[ed[i]] - arri[i];
    //errorcode : ans = ans + t[ed[i]] - t[st[i]];
    //一些预处理工作

    while(k--){
        rg[n] = n;
        for(int i = n-1; i >= 1; --i)
            if(t[i] + dis[i] > leave[i+1]) rg[i] = rg[i+1];
            else rg[i] = i + 1;
        int opt = 0;
        rep(i, 1, n) {
            if(dis[i] > 0 && endp[rg[i]] - endp[i] > opt) {
				opt = endp[rg[i]] - endp[i];
			}
        }
        ans -= opt;
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

总结

这道题的结论很优美, 但是优美地不像是可以考试时想出来的...

还是写dp保平安吧...

p.s.这道题对思维缜密性的要求很高

参考: https://blog.csdn.net/qq_37220238/article/details/80059161

https://www.cnblogs.com/pealicx/p/6138785.html(code)