[物理学与PDEs]第2章第3节 Navier-Stokes 方程组

1.  当流体的压力 $p$ 及温度 $T$ 改变时, 密度 $\rho$ 变化很小. 此时可近似地把流体看作是不可压的, 而 $\rho=\const$. 如此, 流体动力学方程组中的质量、动量守恒方程组可化为 $$\bee\label{2_3_NSE} \bea \Div{\bf u}&=0,\\ \cfrac{\rd{\bf u}}{\rd t}-\mu\lap{\bf u}+\n p&={\bf F}. \eea \eee$$

2.  \eqref{2_3_NSE} 的求解一般先把 $p$ 抹掉, 而依赖于如下引理: 设 ${\bf u}$ 在 $\Omega$ 中适当光滑, 则 ${\bf u}$ 可唯一表成 $$\bex {\bf u}={\bf w}+\n p, \eex$$ 其中 ${\bf w}$ 满足 $$\beex \bea \Div{\bf w}=0,&\quad\mbox{in }\Omega,\\ {\bf w}\cdot{\bf n}=0,&\quad\mbox{on }\p \Omega; \eea \eeex$$ 且当 ${\bf u}\in L^2(\Omega)$ 时, ${\bf w}\in L^2(\Omega)$, 可选 $p\in H^1(\Omega)$.