【BZOJ4004】【JLOI2015】装备购买

Description

　　

　　脸哥最近在玩一款神奇的游戏，这个游戏里有 n 件装备，每件装备有 m 个属性，用向量zi(aj ,.....,am) 表示

　　

(1 <= i <= n; 1 <= j <= m)，每个装备需要花费 ci，现在脸哥想买一些装备，但是脸哥很穷，所以总是盘算着

　　

怎样才能花尽量少的钱买尽量多的装备。对于脸哥来说，如果一件装备的属性能用购买的其他装备组合出（也就是

　　

说脸哥可以利用手上的这些装备组合出这件装备的效果），那么这件装备就没有买的必要了。严格的定义是，如果

　　

脸哥买了 zi1,.....zip这 p 件装备，那么对于任意待决定的 zh，不存在 b1,....,bp 使得 b1zi1 + ... + bpzi

　　

p = zh（b 是实数），那么脸哥就会买 zh，否则 zh 对脸哥就是无用的了，自然不必购买。举个例子,z1 =(1; 2;

　　

3);z2 =(3; 4; 5);zh =(2; 3; 4)，b1 =1/2，b2 =1/2，就有 b1z1 + b2z2 = zh，那么如果脸哥买了 z1 和 z2

　　

就不会再买 zh 了。脸哥想要在买下最多数量的装备的情况下花最少的钱，你能帮他算一下吗？

　　

　　

　　

Input

　　

　　第一行两个数 n;m。接下来 n 行，每行 m 个数，其中第 i 行描述装备 i 的各项属性值。接下来一行 n 个数，

　　

其中 ci 表示购买第 i 件装备的花费。

　　

Output

　　

　　一行两个数，第一个数表示能够购买的最多装备数量，第二个数表示在购买最多数量的装备的情况下的最小花费

　　

Sample Input

　　

　　3 3

　　1 2 3

　　3 4 5

　　2 3 4

　　1 1 2

　　

Sample Output

　　

　　2 2

　　

　　

　　

Solution

　　

　　还是有关那个带权线性基的问题，但是我还未膜拜拟阵证明，所以就先写着吧。

　　

　　我们发现，这个新物品购买与否的判定机制，是看用已购买的物品能否线性表示出新物品。这不就是线性基的那一套插入、判定能否线性表示的做法吗？

　　

　　再考虑到那个贪心的方法——我们要使选中的物品价值尽可能小，那么依照套路我们按物品价值从小到大依次考虑，尝试加入线性基：能，那就买；中途消成0，就说明它可以被线性表示，不买。

　　

　　这题的实现不再能直接套用异或线性基的写法了，而是要用实数来模拟线性基。记线性基的向量为\(b_1,b_2,...,b_m\)，其实每一个\(b_i\)类比于异或线性基中的每一个数，只不过异或线性基还把向量状压了。线性基用矩阵表示就长这样：

\[\begin{bmatrix}
b_{m,1}&b_{m,2} &b_{m,3} &... &b_{m,m}\\
...&...&...&...&...\\
b_{3,1}&b_{3,2} &b_{3,3} &... &b_{3,m}\\
b_{2,1}&b_{2,2} &b_{2,3} &... &b_{2,m}\\
b_{1,1}&b_{1,2} &b_{1,3} &... &b_{1,m}\\
\end{bmatrix}
\]

​　　尝试加入一个向量\(a=[a_1,a_2,...,a_m]\)时，我们从\(b_m\)开始，一行一行地循环到\(b_1\)。考虑\(b_i\)时，如果\(a_i=0\)，continue；如果\(b_{i,i}=0\)，我们把整个\(b_i\)赋值为\(a\)；如果\(b_{i,i}\ne0\)，我们用\(b_i\)消去\(a_{i,i}\)，继续往下走。类比异或线性基的插入方法，就能很好地理解普通线性基的插入方法。

　　

　　由于BZOJ新加了三组毒瘤数据，因此实数要用long double保证精度。

　　

　　　

　　

Code

　　

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long double ld;
const int N=505;
const ld EPS=1e-8;
int n,m;
ld lb[N][N];
struct Equip{
	ld a[N];
	int cost;
}s[N];
int use,sum;
inline bool cmp(const Equip &x,const Equip &y){return x.cost<y.cost;}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1,x;j<=m;j++) scanf("%llf",&s[i].a[j]);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&s[i].cost);
	sort(s+1,s+1+n,cmp);
	for(int x=1;x<=n;x++)
		for(int i=1;i<=m;i++)
			if(fabs(s[x].a[i])>=EPS){
				if(fabs(lb[i][i])<EPS){
					for(int j=i;j<=m;j++) lb[i][j]=s[x].a[j];
					use++;
					sum+=s[x].cost;
					break;
				}
				for(int j=m;j>=i;j--)
					s[x].a[j]-=lb[i][j]*(s[x].a[i]/lb[i][i]);
			}
	printf("%d %d\n",use,sum);
	return 0;
}