【ContestHunter】【弱省胡策】【Round4】

01分数规划（网络流）+状压DP+树形DP

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官方题解地址：http://pan.baidu.com/s/1mg5S5z6

A

　　好神啊= =第一次写01分数规划

　　其实分数规划是要求$$ Maximize/Minimize \ \ L=\frac{A(x)}{B(x)}$$

　　这里我们拿最大来举例吧……因为本题就是最大嘛~

　　通用解法是：二分= =

　　假设最优解为$\lambda^*$，那么有$$\lambda^*=f(x^*)=\frac{A(x^*)}{B(x^*)} \\ \Rightarrow \lambda^* *B(x^*)=A(x^*) \\ \Rightarrow 0=A(x^*)-\lambda^* *B(x^*) $$

　　那么我们由上面的形式构造一个新函数$g(\lambda)$：$$g(\lambda)=max_{x \in S} \{A(x)-\lambda*B(x)\}$$

　　这个函数是有单调性的……我就不证明了……重点是后面的部分：

$$ \lambda<\lambda^* \Rightarrow \lambda<\frac{A(x^*)}{B(x^*)} \Rightarrow A(x^*)-\lambda *B(x^*) >0 \\ \lambda>\lambda^* \Rightarrow \lambda>\frac{A(x^*)}{B(x^*)} \Rightarrow A(x^*)-\lambda *B(x^*) <0 $$

　　所以我们得到这样一个定理(重要)：$$\begin{cases} g( \lambda )=0 & \Leftrightarrow & \lambda = \lambda^* \\ g( \lambda )<0 & \Leftrightarrow & \lambda < \lambda^* \\ g( \lambda )>0 & \Leftrightarrow & \lambda > \lambda^* \end{cases} $$

　　这题里面，$A(x)$就是边权和，$\lambda*B(x)$就是选这些点的代价啦。

　　那么很明显对于一个已知的$\lambda$（收益比），我们可以用最大权闭合图的模型来求出$g(\lambda)$，（因为是最大！）从而得知我们二分的这个答案$\lambda$是偏大还是偏小了……

　　这玩意是不是叫点边均带权的最大密度子图啊QAQ

　　然而这题有个细节要注意，因为我们用的是最大权闭合图，这里的边权又比较特殊……所以不会出现$g(\lambda)<0$的情况，（那种时候会变成=0），所以我们应该是在>0的时候令L=mid；else R=mid;

　　而我一开始是反过来写的……所以就跪了TAT 后来我灵（nao）机（zi）一（yi）动（chou），将ans<0改成了ans<eps……这就将<=0的情况都包括进去了→_→顺利出解。

　　

　　事实上考试时我这题只有暴力分= =因为我数组开！小！了！……一开始定数组大小的时候没想出来正解……所以是直接按点数和边数开的……但是如果是网络流的话，点数应该是$n+m$，边数会是$n+3m$……（没算源汇）QAQTAT

 //Round4 A
 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 #define pb push_back
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 inline int getint(){
     int r=,v=; char ch=getchar();
     for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-;
     for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*-''+ch;
     return r*v;
 }
 const int N=,M=;
 const double eps=1e-,INF=1e10;
 /*******************template********************/

 int n,m,u[M],v[M];
 double p[M],ans,c[N];
 struct edge{int to;double v;};
 struct Net{
     edge E[M];
     int head[N],nxt[M<<],cnt;
     void ins(int x,int y,double v){
         E[++cnt]=(edge){y,v}; nxt[cnt]=head[x]; head[x]=cnt;
     }
     void add(int x,int y,double v){
         ins(x,y,v); ins(y,x,);
     }
     int S,T,cur[N],d[N];
     queue<int>Q;
     bool mklevel(){
         memset(d,-,sizeof d);
         d[S]=;
         Q.push(S);
         while(!Q.empty()){
             int x=Q.front(); Q.pop();
             for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
                 if (d[E[i].to]==- && E[i].v>){
                     d[E[i].to]=d[x]+;
                     Q.push(E[i].to);
                 }
         }
         return d[T]!=-;
     }
     double dfs(int x,double a){
         if (x==T) return a;
         double flow=0.0;
         for(int &i=cur[x];i && a-flow>eps;i=nxt[i]){
             if (d[E[i].to]==d[x]+ && E[i].v>eps){
                 double f=dfs(E[i].to,min(a-flow,E[i].v));
                 E[i].v-=f;
                 E[i^].v+=f;
                 flow+=f;
             }
         }
         if (fabs(flow)<eps) d[x]=-;
         return flow;
     }
     void Dinic(){
         while(mklevel()){
             F(i,,T) cur[i]=head[i];
             ans-=dfs(S,INF);
         }
     }
     void build(double x){
 //        cout <<"mid="<<x<<endl;
         cnt=; memset(head,,sizeof head);
         S=,T=n+m+; ans=0.0;
         F(i,,n) add(S,i,(double)c[i]*x);
         F(i,,m){
             ans+=p[i];
             add(u[i],i+n,INF);
             add(v[i],i+n,INF);
             add(i+n,T,p[i]);
         }
     }
     void init(){
         n=getint(); m=getint();
         F(i,,n) c[i]=getint();
         F(i,,m){
             u[i]=getint(); v[i]=getint(); p[i]=getint();
         }
         double l=,r=1e9,mid;
         while(r-l>eps){
             mid=(l+r)/;
             build(mid);
             Dinic();
 //            printf("mid=%f ans=%f\n",mid,ans);
             if (ans<eps) r=mid;
             else l=mid;
         }
         printf("%.2f\n",l);
     }
 }G1;

 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("A.in","r",stdin);
     freopen("A.out","w",stdout);
 #endif
     G1.init();
     return ;
 }

B

　　更神的状压DP……求包括所有点的，边权和最小的边双？。。。

　　$n\leq 12 ,m\leq 50$，很容易猜到n是指数级……枚举= =而m是多重循环的（由于前面有指数级的枚举，这里大约应该是两重循环吧）

　　然而并不会2333

　　看题解&标程：

　　核心思想是：一个边双可以通过从一个边双（点）开始，不断加链……不断加链得到！

　　所以就DP枚举啦~令$f[i]$表示点集$i$为一个边双的最小代价，那么枚举$i$的一个子集，令其为一个边双，然后剩余部分组成一条链，加入到这个边双中。

　　预处理出来：

　　　　1.点集S组成一条链，且两端点为x、y的最小边权和

　　　　2.点x连向点集S的最小边权和次小边权（用来将（链/点）连入到边双中

 //Round 4 B
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 inline int getint(){
     int r=,v=; char ch=getchar();
     for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-;
     for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*-''+ch;
     return r*v;
 }
 const int N=,INF=<<;
 #define CC(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 /*******************template********************/

 int n,m,bin[N],g[N][][],h[N][][];
 int f[N];
 struct edge{int x,y,c,next;}E[N];
 int head[],cnt;
 void add(int x,int y,int c){
     E[++cnt]=(edge){x,y,c,head[x]}; head[x]=cnt;
     E[++cnt]=(edge){y,x,c,head[y]}; head[y]=cnt;
 }

 inline void getmin(int &a,int b){a=min(a,b);}
 inline int fac(int x){
     int ans=;
     for(x=x&(x-);x;x=x&(x-)) ans++;
     return ans;
 }
 void init(){
     m=(<<n)-;
     F(i,,m) F(j,,n) F(k,,n) g[i][j][k]=INF;
     F(i,,n){
         bin[i]=<<(i-);
         g[bin[i]][i][i]=;
     }
     F(i,,cnt){
         int x=E[i].x,y=E[i].y,s=bin[x]+bin[y];
         g[s][x][y]=min(g[s][x][y],E[i].c);//直接相邻的两点
     }

     F(i,,m)
         F(x,,n) F(y,,n)
             if ((bin[x]|i)==i && (bin[y]|i)==i)
     for(int j=head[y];j;j=E[j].next)
         if ((bin[E[j].y]|i)!=i)
             getmin(g[i|bin[E[j].y]][x][E[j].y],g[i][x][y]+E[j].c);
     //从链的一端向前扩展

     F(i,,m) F(j,,n) F(k,,) h[i][j][k]=INF;
     F(i,,m)
         F(x,,n)
             if ((bin[x]|i)!=i)//找个在点集i之外的点x
     for(int j=head[x];j;j=E[j].next)
         if ((bin[E[j].y]|i)==i){
             if (E[j].c<=h[i][x][]){
                 h[i][x][]=h[i][x][];
                 h[i][x][]=E[j].c;
             }else getmin(h[i][x][],E[j].c);
         }//更新从x到i的最短&次短边权
 }
 void work(){
     F(i,,m) f[i]=INF;
     F(i,,n) f[bin[i]]=;

     F(i,,m)
         if (fac(i)>=)//元素个数大于2
             for(int s=i&(i-);s;s=i&(s-)){
                 int t=i-s;
                 F(x,,n) F(y,,n)
                     if ((bin[x]|s)==s && (bin[y]|s)==s){
                         if (x==y)
                             getmin(f[i],f[t]+g[s][x][x]+h[t][x][]+h[t][x][]);
                         else
                             getmin(f[i],f[t]+g[s][x][y]+h[t][x][]+h[t][y][]);
                     }
             }
     if (f[m]<INF) printf("%d\n",f[m]);
     else puts("Impossible");
 }
 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("B.in","r",stdin);
     freopen("B.out","w",stdout);
 #endif
     int T=getint();
     while(T--){
         n=getint(); m=getint();
         cnt=; CC(head,);
         F(i,,m){
             int x=getint(),y=getint(),c=getint();
             add(x,y,c);
         }
         init(); work();
     }
     return ;
 }

C

　　……这个……不想说什么了……其实是【TYVJ 五月图论专项有奖比赛】的C题，而且数据规模还更小了……

　　然而我个傻逼还是不会做QAQ，直接贴了原来的代码>_>原谅我……

 //Round 4 C
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 #define pb push_back
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 inline int getint(){
     int r=,v=; char ch=getchar();
     for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-;
     for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*-''+ch;
     return r*v;
 }
 const int N=;
 /*******************template********************/
 int to[N<<],next[N<<],head[N],cnt;
 void add(int x,int y){
     to[++cnt]=y; next[cnt]=head[x]; head[x]=cnt;
     to[++cnt]=x; next[cnt]=head[y]; head[y]=cnt;
 }

 int n,a[N],f[N][],dep[N],s[N],fa[N],cut;
 LL g[N],ans=1e15;
 void dfs(int x){
     for(int i=head[x];i;i=next[i])
         if (to[i]!=fa[x]){
             dep[to[i]]=dep[x]+;
             fa[to[i]]=x;
             dfs(to[i]);
             s[x]+=s[to[i]];
             if (s[to[i]]>s[f[x][]]) f[x][]=f[x][],f[x][]=to[i];
             else if (s[to[i]]>s[f[x][]]) f[x][]=to[i];
             g[x]+=g[to[i]]+s[to[i]];
         }
 }
 LL getans(int x,int cnt){
     int t=(f[x][]==cut || s[f[x][]]>s[f[x][]]) ? f[x][] : f[x][];
     if (*s[t]>cnt) return *s[t]-cnt+getans(t,cnt);
     else return ;
 }
 void dp(int x){
     for(int i=head[x];i;i=next[i])
         if (to[i]!=fa[x]){
             cut=to[i];
             for(int j=x;j;j=fa[j]) s[j]-=s[to[i]];
             ans=min(ans,g[]-g[to[i]]-(LL)s[to[i]]*dep[to[i]]-getans(,s[])+g[to[i]]-getans(to[i],s[to[i]]));
             for(int j=x;j;j=fa[j]) s[j]+=s[to[i]];
             dp(to[i]);
         }
 }

 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("C.in","r",stdin);
     freopen("C.out","w",stdout);
 #endif
     n=getint();
     F(i,,n){
         int x=getint(),y=getint();
         add(x,y);
     }
     F(i,,n) s[i]=getint();
     dfs();
     dp();
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }