bzoj 3027: [Ceoi2004]Sweet (生成函数)
题目传送门:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3027。
题目大意:有$n$种数,每种有$C_i$个,问你在这些数中取出$[l,r]$个,问你有多少种不同的取法,答案对2004取模。
数据范围:$n≤10$,$C_i≤10^6$,$1≤l<r≤10^7$。
我们不妨设$f(n)$表示不超过$n$的数的取法之和。
则答案显然为$f(r)-f(l-1)$,下面来推导f(x)。
显然,$f(m)$等于多项式$\Pi_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{C_i}x^i$[0,m]的系数和。
考虑到$C_i$很大,如果直接多项式乘法,会$T$,必须化简。
原式
$=\Pi_{i=1}^n \frac{1-x^{C_i} } {1-x}$。
$=\frac{\Pi_{i=1}^{n} (1-x^{C_i})}{(1-x)^n}$。
$=\Pi_{i=1}^{n} (1-x^{C_i}) \sum_{j=-1}^{\infty} \binom{n+j}{n-1}x^(j+1)$
考虑式子的前半部分,不难发现,该部分最多只有$2^n$个位置是非零的,显然我们只需要处理这部分,并不需要对整个多项式做乘法。实现该步骤一个dfs即可。
对于后半部分,假设求f(m)过程中前面通过dfs连乘出的单项式次数为k,系数为p,那么需要累加的答案显然多项式$p \times \sum_{j=-1}^{m-k-1} \binom{n+j}{n-1}x^(j+1)$。
然后根据组合数的相关公式进行化简,得到$p \times \binom{n+m-k-1}{n-1}$。
然后就愉快地昨晚啦
#include<bits/stdc++.h>
#define L long long
#define MOD 2004
using namespace std; L n,a,b,now,ans=;
L m[]={},mul=; L C(int n,int m){
if(n<m) return ;
L ans=,mod=mul*MOD;
for(L i=n-m+;i<=n;i++)
ans=i%mod*ans%mod;
return (ans/mul)%MOD;
} void dfs(L dep,L fu,L mi,L lim){
if(dep==n+){
now=(now+fu*C(n+lim-mi,n)%MOD)%MOD;
return;
}
dfs(dep+,fu,mi,lim);
dfs(dep+,-fu,mi+m[dep]+,lim);
}
L calc(L hh){
now=;
dfs(,,,hh);
return now;
}
int main(){
cin>>n>>a>>b;
mul=; for(int i=;i<=n;i++) mul*=i;
for(int i=;i<=n;i++) cin>>m[i];
ans=((calc(b)-calc(a-))%MOD+MOD)%MOD;
cout<<ans<<endl;
}
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