从贝叶斯到粒子滤波——Round 2

　　上一篇博文已经讲了贝叶斯滤波的原理以及公式的推导：http://www.cnblogs.com/JunhaoWu/p/bayes_filter.html

　　本篇文章将从贝叶斯滤波引入到粒子滤波，讲诉粒子滤波的原理。

　　前面我们已经提到，将跟踪目标的运动看作是一个动态系统。系统的状态以目标的状态来表示。这里，不妨将跟踪目标的中心位置作为系统状态 x_t=(i_t,j_t)。在连续变化的图像序列里，状态x_t随时间不断变换。我们的目的是估计t时刻系统的状态，在这个例子中为目标的中心位置。

　　状态估计问题(目标跟踪，信号滤波)就是根据之前一系列已有数据y_1:t(后验只是)递推计算出当前状态x_t的可信度。这个可信度就是概率公式p(x_t|y_1:t)。

　　p(x_t|y_1:t)可以使用贝叶斯公式计算得出，即：

　　，

　　上面的式子中，我们还需要对p(y_t|x_t)和p(y_t|y_1:t-1)进行建模。例如，p(y_t|x_t)可以被看作是候选目标y_t与跟踪目标的相似度（即实际值x_t与观测值y_t的相似度），用一系列的模板来重构y_t，然后将其重构误差作为候选目标跟跟踪目标的相似度。

　　然而，这是贝叶斯滤波要解决的问题，我们现在想使用的是粒子滤波。

　　我们知道p(x_t|y_1:t)可以描述的是状态x_t的分布情况（取什么值，还有取得这个值的概率大小）。同样的，样本也有描述概率分布的能力。若将x_t看作是一个随机变量，如果能取得足够多的样本值，那么这些样本完全可以描述x_t的分布情况。无非就是取什么值，还有取得这个值的概率大小嘛。样本中，落在该值上的样本越多，那么取得这个值得概率就越大哩，也就是说用频率来表示概率了。

　　粒子滤波的思想就是如上所述的使用样本去模拟状态x_t的概率分布。啪啪啪，我们根据某个概率分布函数撒一些粒子x_tⁱ，然后计算这些粒子的权值，该权值表示该粒子是我们想要的状态x_t的可能性，即p(x_t|y_1:t)。粒子撒的越多，模拟结果越精确（毕竟样本越多越能说明真是情况嘛）。

　　下面以目标跟踪为例简述一下粒子滤波的算法流程：

　　1. 初始化阶段：目标的特征描述，即如何表示跟踪目标（灰度值，颜色特征等等）；初始化粒子，可以使用高斯分布或者均匀分布来进行初始化（在Matlab中分别是randn函数和rand函数）。

　　2. 对每一个粒子（每个粒子也可以看做是一个候选目标）

　　　　1) 粒子传播x_t-1ⁱ --> x_tⁱ

　　　　2) 计算粒子的观测值 x_tⁱ --> y_tⁱ

　　　　3) 提取候选目标y_tⁱ的特征，度量其与跟踪目标的相似度，该相似度作为粒子x_tⁱ的权值

　　3. 粒子重采样

　　4. 根据粒子及其权值估计系统状态x_t

　　说明：

　　粒子传播：x_t-1表示的是t-1时刻的粒子，这些粒子近似表示了系统状态x_t-1的分布函数。而我们现在要估计的是t时刻的状态x_t，可以根据状态方程对t-1时刻的粒子进行传播，得到t时刻的粒子x_t，用来近似表示t时刻的状态分布。当然，也可以选用其它的方式进行粒子传播，主要思想是使得传播后的粒子更好地近似表示状态x_t的概率分布。

　　计算粒子的观测值：前面我们使用目标的中心表示该目标在t时刻的状态x_t。根据不同的跟踪目标，我们需要根据x_t得到不同的观测值。例如，跟踪目标是一个3x3的矩阵，那么我们需要根据x_t，取得其局部领域作为观测值y_t。

　　特征提取：我们虽然得到了粒子的观测值y_t。但是，我们需要提取更多关于目标的信息，例如灰度值，颜色特征等等。这些信息的目的都是为了更好地描述跟踪目标，为得到更好的跟踪效果而服务。提取了特征之后，我们就可以比较候选目标和跟踪目标的相似度了。而相似度的衡量标准也有很多，这里就不详细说明了。总而言之，相似度越大的候选目标越有可能是我们想要的跟踪结果。因此，我们可以用相似度作为粒子的权值。毕竟相似度越大的粒子，状态x_t取得该粒子的可能性也越大嘛。

　　粒子重采样：在跟踪过程中，有一些粒子可能偏离目标太远。这些粒子是我们想要的系统状态x_t的可能性非常小，因此取得的权值非常小。只是根据粒子传播来改变粒子的状态的话，偏离的粒子永远是偏离的，很难再回到目标周围。这样的话，偏离的粒子可能越积越多。这就是所谓的粒子退化现象。退化了得粒子（权值小）作用就不大了，甚至说根本没用啊！浪费了各种资源，对状态估计又不做贡献。因此我们需要对粒子进行重采样。最简单的方式是剔除掉权值小的粒子（也就是退化了的粒子），然后将权值大的再复制几个呗。多简单粗暴啊，哈哈哈！

　　以上便是粒子滤波的目标跟踪流程了！如果还有什么问题，或者我写的不好的地方，欢迎各位看官各种抨击。