[loj2393]门票安排

为了方便，不妨假设$a_{i}\le b_{i}$，并将问题转换为以下形式：

$\forall 1\le i\le m$，将$[a_{i},b_{i})$或$[1,a_{i})\cup [b_{i},n]$覆盖共$c_{i}$次，最小化覆盖次数最多的位置

考虑先全部覆盖$[a_{i},b_{i})$，再将若干个区间反转来调整，并且要求最终反转的方案（在取到最小值的基础上）反转的区间个数最少，下面来分析此方案的性质——

记初始第$i$个位置被覆盖$s_{i}$次，反转后第$i$个位置被覆盖$t_{i}$次

性质1：反转的区间两两有交

若存在两个反转的区间不交，撤销反转这两个区间，显然最小值不降且个数减小

由此，记反转的区间交为$[x,y]$，$[x,y]$中$t_{i}$的最大值为$t_{k}$

引理：$\forall i\in [x,y],s_{i}-t_{i}=s_{k}-t_{k}$；$\forall i\not\in [x,y],s_{i}-t_{i}\le s_{k}-t_{k}-2$

注意到$s_{i}-t_{i}$仅取决于$i$被多少个反转的区间覆盖，且每少一个区间值会减小2

另外，由前者显然可得$s_{k}=\max_{x\le i\le y}s_{i}$，以下不再叙述

性质2：$t_{k}\ge \max_{1\le i\le n}t_{i}-1$

若不成立，撤销反转一个$l=x$的区间和一个$r=y$的区间，那么最小值不降且个数减小

性质3：$\forall s_{j}=\max_{1\le i\le n}s_{i},j\in [x,y]$

若存在$j\not\in [x,y]$，则$s_{k}-t_{k}\le s_{j}-(t_{j}-1)$（根据性质2），与引理矛盾

结合上述性质，来考虑如何求出此方案——

二分枚举答案$T=\max_{1\le i\le n}t_{i}$，取$s_{i}$的最大值为$s_{k}$，再枚举$t_{k}=T$或$T-1$

由于所有反转区间都包含$k$，即可推出反转的区间个数$cnt=s_{k}-t_{k}$

记$cnt'_{i}$为包含$i$的反转区间个数，限制即$s_{i}+(cnt-2cnt'_{i})\le T$，不妨写成$cnt'_{i}\ge lim_{i}$的形式

由此，考虑在满足$i\in [1,k)$的限制基础上，最大化反转区间的右端点

具体的，从小到大枚举$i$，并维护左端点$\le i$的未反转区间右端点（要求$\ge k$），在$i$上贪心反转右端点最大的$\max(lim_{i}-cnt'_{i},0)$个区间即可

事实上，之前的性质也适用于"最大覆盖次数$\le T$（而不是取到最小值）且反转的区间个数最少"的反转方案，因此之前的二分显然具备单调性

时间复杂度为$o(n\log^{2}n)$，可以通过

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 200005
 4 #define ll long long
 5 #define pii pair<int,int>
 6 #define fi first
 7 #define se second
 8 vector<pii>v[N];
 9 priority_queue<pii>q;
10 int n,m,k,x,y,z;
11 ll s[N],t[N];
12 bool check(ll T,ll cnt){
13     ll Cnt=cnt;
14     memset(t,0,sizeof(t));
15     while (!q.empty())q.pop();
16     for(int i=1;i<=k;i++){
17         t[i]+=t[i-1];
18         for(int j=0;j<v[i].size();j++)
19             if (v[i][j].fi>=k)q.push(v[i][j]);
20         ll lim=(s[i]+cnt-T+1>>1);
21         if (i==k)lim=cnt;
22         while (t[i]<lim){
23             if (q.empty())return 0;
24             pii o=q.top();
25             q.pop();
26             if (t[i]+o.se<=lim){
27                 Cnt-=o.se,t[i]+=o.se,t[o.fi]-=o.se;
28                 continue;
29             }
30             int s=lim-t[i];
31             Cnt-=s,t[i]+=s,t[o.fi]-=s;
32             q.push(make_pair(o.fi,o.se-s));
33         }
34     }
35     if (Cnt<0)return 0;
36     for(int i=k+1;i<=n;i++){
37         t[i]+=t[i-1];
38         if (s[i]+(cnt-(t[i]<<1))>T)return 0;
39     }
40     return 1;
41 }
42 bool check(ll T){
43     return check(T,s[k]-T)|check(T,s[k]-(T-1));
44 }
45 int main(){
46     scanf("%d%d",&n,&m);
47     for(int i=1;i<=m;i++){
48         scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
49         if (x>y)swap(x,y);
50         s[x]+=z,s[y]-=z;
51         v[x].push_back(make_pair(y,z));
52     }
53     for(int i=1;i<=n;i++)s[i]+=s[i-1];
54     for(int i=1;i<=n;i++)
55         if (s[k]<s[i])k=i;
56     ll l=0,r=s[k];
57     while (l<r){
58         ll mid=(l+r>>1);
59         if (check(mid))r=mid;
60         else l=mid+1;
61     }
62     printf("%lld\n",l);
63     return 0;
64 }