洛谷1052——过河（DP+状态压缩）

题目描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0,1,…,L0,1,…,L0,1,…,L（其中LLL是桥的长度）。坐标为000的点表示桥的起点，坐标为LLL的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是SSS到TTT之间的任意正整数（包括S,TS,TS,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为LLL的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度LLL，青蛙跳跃的距离范围S,TS,TS,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。

输入输出格式

输入格式：

第一行有111个正整数L(1≤L≤109)L(1 \le L \le 10^9)L(1≤L≤109)，表示独木桥的长度。

第二行有333个正整数S,T,MS,T,MS,T,M，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离及桥上石子的个数，其中1≤S≤T≤101 \le S \le T \le 101≤S≤T≤10,1≤M≤1001 \le M \le 1001≤M≤100。

第三行有MMM个不同的正整数分别表示这MMM个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出格式：

一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

说明

对于30%的数据，L≤10000L \le 10000L≤10000；

对于全部的数据，L≤109L \le 10^9L≤109。

2005提高组第二题

思路

如果不考虑数据范围的话，可以很快得出递推关系式：dp[i]=min(dp[i+k]+a[i]) (S≤k≤T)dp[i]=min(dp[i+k]+a[i])\ \ (S\leq k \leq T)dp[i]=min(dp[i+k]+a[i]) (S≤k≤T)（a[i]a[i]a[i]为iii点的石头数dp[i]dp[i]dp[i]表示到达iii点踩到的最少石头数）

然鹅看了数据范围后，时间和空间都是过不去的。所以需要选择别的方法：

当S=TS=TS=T的时候，可以很容易得到：所有在SSS倍数位置上的点，都会走到，所以对该种情况进行特判
我们可以发现石子在桥上放置的是非常稀疏的，而且当点的位置超过一定范围，点都是可以跳到的。所以可以将石子所在的位置压缩到这个范围里去。将压缩后位置储存起来作为新的石头的位置，按照这个位置进行dp即可

假设每次走ppp或者p+1p+1p+1步.我们知道gcd(p,p+1)=1gcd(p,p+1)=1gcd(p,p+1)=1.

由扩展欧几里得可知，对于二元一次方程组：

px+(p+1)y=gcd(p,p+1)px+(p+1)y=gcd(p,p+1)px+(p+1)y=gcd(p,p+1)是有整数解的，即可得：px+(p+1)y=spx+(p+1)y=spx+(p+1)y=s是一定有整数解的。

设px+(p+1)y=spx+(p+1)y=spx+(p+1)y=s的解为：x=x0+(p+1)t,y=y0−ptx=x_0+(p+1)t,y=y_0−ptx=x0+(p+1)t,y=y0−pt。令0≤x≤p0\leq x\leq p0≤x≤p(通过增减ttt个p+1p+1p+1来实现)，s>p×(p+1)−1s>p\times (p+1)−1s>p×(p+1)−1，

则有：y=s−pxp+1≥s−p2p+1>p(p+1)−1−pxp+1≥0y=\dfrac {s-px}{p+1}\geq \dfrac {s-p^{2}}{p+1} >\dfrac {p\left( p+1\right) -1-px}{p+1}\geq 0y=p+1s−px≥p+1s−p2>p+1p(p+1)−1−px≥0

即表示，当s≤p×(p+1)s\leq p\times (p+1)s≤p×(p+1)时，px+(p+1)y=spx+(p+1)y=spx+(p+1)y=s有两个非负整数解，每次走ppp步或者p+1p+1p+1步，p×(p+1)p\times (p+1)p×(p+1)之后的地方均能够到达。

如果两个石子之间的距离大于p×(p+1)p\times (p+1)p×(p+1)，那么就可以直接将他们之间的距离更改为p×(p+1)p \times (p+1)p×(p+1)。

综上，得到压缩路径的方法：若两个石子之间的距离大于t×(t−1)t\times(t−1)t×(t−1)，则将他们的距离更改为t×(t−1)t\times (t−1)t×(t−1)。

因为t≤10为t\leq10为t≤10，因此我们可以直接将大于10×910\times910×9的距离直接化为909090.

关于路径压缩常数的选择，证明过程详见：https://blog.csdn.net/qq_34940287/article/details/77494073

AC代码

/*************************************************************************

	 > Author: WZY

	 > School: HPU

	 > Created Time:   2019-02-03 15:55:49

************************************************************************/

#include <bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define ull unsigned long long

#define ms(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

#define INF 0x7f7f7f7f

const int maxn=1e6+10;

const int mod=1e9+7;

using namespace std;

int a[maxn];

int dp[maxn];

int vis[maxn];

int main(int argc, char const *argv[])

{

	ios::sync_with_stdio(false);

	cin.tie(0);

	int L;

	int ans=0;

	int s,t,m;

	cin>>L;

	cin>>s>>t>>m;

	for(int i=1;i<=m;i++)

		cin>>a[i];

	if(s==t)

	{

		for(int i=1;i<=m;i++)

		{

			if(a[i]%s==0)

				ans++;

		}

		cout<<ans<<endl;

		return 0;

	}

	sort(a+1,a+1+m);

	int _=90;

	int res=a[1]%_;

	vis[res]=1;

	// 缩点

	for(int i=2;i<=m;i++)

	{

		res+=(a[i]-a[i-1])%_;

		vis[res]=1;

	}

	for(int i=res;i>=0;i--)

	{

		dp[i]=INF;

		for(int j=s;j<=t;j++)

			dp[i]=min(dp[i],dp[i+j]+vis[i]);

	}

	cout<<dp[0]<<endl;

	return 0;

}