【模拟8.09】建设城市（city） （容斥）

放在了考试T1

发现70分的DP很水啊，f[i][j]为当前位置是i分配了j个队的方案

我们用前缀和统计，在将i删去，j倒序枚举，就可以删掉一维（也可以滚动数组滚起来）

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<cstring>
 5 #include<string>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<vector>
 8 #include<map>
 9 #define MAXN 110001
10 #define int long long
11 using namespace std;
12 int f[MAXN],sum[MAXN];
13 int n,m,K;
14 const int mod=998244353;
15 int ans=0;
16 signed main()
17 {
18   // freopen("text.in","r",stdin);
19   // freopen("a.out","w",stdout);
20     scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&K);
21      m-=n;K-=1;
22     if(m<0||K<0)
23     {
24          printf("0\n");
25          return 0;
26     }
27     f[0]=1;sum[0]=1;
28     for(int j=1;j<=m;++j)sum[j]=sum[j-1]+f[j];
29     for(int i=1;i<=n;++i)
30     {
31         for(int j=m;j>=0;--j)
32         {
33             if(j-K-1>=0)
34                f[j]=(sum[j]-sum[j-K-1]+mod)%mod;
35             else
36                f[j]=sum[j]%mod;
37            // printf("%lld f[%lld]=%lld\n",i,j,f[j]);
38         }
39         sum[0]=f[0];
40         for(int j=1;j<=m;++j)
41         {
42             sum[j]=(sum[j-1]+f[j]+mod)%mod;
43         }
44     }
45     printf("%lld\n",f[m]%mod);
46 }
47 /*
48 3 7 3
49 */

正解是容斥

每次枚举至少有i个不符合条件，很显然满足容斥定理

然后C(n,i)表示在n个城市中任选出i个不符合的

C(m-1-i*K,n-1)显然挡板法，现将i*K这一不符合条件的部分删去，然后在剩余区间中

插入n-1个板子，意味着分成n份，

又因为C(n,i)是选出不符合的i个，然后相乘，就是至少为i时的所有情况

我们发现至少为i的情况包括i+1，i+2.....的情况，

那么我们可以看出i+1的情况可以看成是在至少为i时，确定了i，又选了1个

以至少为一为例，

选了为2的情况为C(2,1)次，（2集合中的两个数都被1集合重复选过）

那么容斥一下至少为2时改为加

至于容斥更严谨的证明，可以去看别人博客，我就不证了.......

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<cstring>
 5 #include<string>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<vector>
 8 #include<map>
 9 #define MAXN 31000001
10 #define int long long
11 using namespace std;
12 const int mod=998244353;
13 int n,m,K;
14 int ni_c[MAXN],jie[MAXN],ni[MAXN];
15 int C(int x,int y)
16 {
17     if(y>x)return 0;
18     if(y==0)return 1;
19     return jie[x]*ni_c[y]%mod*ni_c[x-y]%mod;
20 }
21 signed main()
22 {
23    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&K);
24    int ans=0;
25    jie[1]=1;ni[1]=1;ni_c[1]=1;
26    jie[0]=1;ni[0]=1;ni_c[0]=1;
27    for(int i=2;i<=m+1;++i)
28    {
29        jie[i]=jie[i-1]*i%mod;
30        ni[i]=(mod-mod/i)*ni[mod%i]%mod;
31        ni_c[i]=ni_c[i-1]*ni[i]%mod;
32    }
33    ans=C(m-1,n-1)%mod;
34    int base=n;
35    for(int i=1;i<=n;++i)
36    {
37        if(m-(i*K)<n)break;
38        if((i%2)==0)
39        {
40            ans=(ans+base*C(m-1-(i*K),n-1)%mod+mod)%mod;
41        }
42        else
43        {
44            ans=(ans-base*C(m-1-(i*K),n-1)%mod+mod)%mod;
45        }
46        base=(base*(n-i)%mod)*ni[i+1]%mod;
47    }
48    printf("%lld\n",ans%mod);
49 }