题意:n个人编号为[s+1, s+n],有n个座位编号为[1,n],编号为 i 的人只能坐到编号为它的约数的座位,问每个人是否都有位置坐。

题解:由于质数只能坐到1或者它本身的位置上,所以如果[n+1,n+s]区间内如果有多于一个质数时肯定无解,
有解时s 一定很小因为1e9以内,最远的两个素数相差282 (打表得出),
可以证明 [s+1,n]这一段数肯定坐到自己编号的位置上要更好
所以剩下的用匈牙利匹配一下即可

简单证明一下“ [s+1,n]这一段数肯定坐到自己编号的位置上要更好”

如果有更好的位置,设x为[s+1,n]内的一个数,y为大于n的一个数

且不存在比s小的数a 是得y%a=0

但是 x%a=0 且 y%x=0

这样显然矛盾

代码:

const int maxn = ;

int n, s;

vector<int> G[maxn];
bool vis[maxn];
int match[maxn];
bool dfs(int u)
{
for (int i = ; i < G[u].size(); i++)
{
int v = G[u][i];
if (vis[v]) continue;
vis[v] = true;
if (match[v] == - || dfs(match[v]))
{
match[v] = u;
return true;
}
}
return false;
} int hungary(int n) //传入二分图一边的节点数
{
int matches = ;
memset(match, -, sizeof match);
for(int i = ; i <= n; ++i)
{
memset(vis, , sizeof vis);
matches += dfs(i);
}
return matches;
} void init()
{
for (int i = ; i < maxn; i++) G[i].clear();
scanf("%d%d", &n, &s);
} void solve()
{
if (s > && n > )
{
printf("No\n");
return;
}
if (n <= )
{
for (int i = ; i <= n; i++)
{
for (int j = ; j <= n; j++)
{
if ((s + i) % j == )
{
G[i].push_back(j);
}
}
}
int m = hungary(n);
if (m == n) printf("Yes\n");
else printf("No\n");
return;
}
for (int i = ; i <= s; i++)
{
for (int j = ; j <= s; j++)
{
if ((n + i) % j == )
{
G[i].push_back(j);
}
}
}
int m = hungary(s);
if (m == s) printf("Yes\n");
else printf("No\n");
} int main()
{
int T, kase = ;
scanf("%d", &T);
while (T--)
{
printf("Case #%d: ", ++kase);
init();
solve();
}
return ;
}

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