[问题2014A02] 解答一（两次升阶法，由张钧瑞同学、董麒麟同学提供）

[问题2014A02] 解答一（两次升阶法，由张钧瑞同学、董麒麟同学提供）

将原行列式 \(|A|\) 升阶，考虑如下 \(n+1\) 阶行列式:

\[|B|=\begin{vmatrix} 1 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} & -a_n \\ 0 & 0 & a_1+a_2 & \cdots & a_1+a_{n-1} & a_1+a_n \\ 0 & a_2+a_1 & 0 & \cdots & a_2+a_{n-1} & a_2+a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & a_{n-1}+a_1 & a_{n-1}+a_2 & \cdots & 0 & a_{n-1}+a_n \\ 0 & a_n+a_1 & a_n+a_2 & \cdots & a_n+a_{n-1} & 0 \end{vmatrix},\]

显然 \(|A|=|B|\). 将 \(|B|\) 的第一行分别加到余下的 \(n\) 行上，可得

\[|B|=\begin{vmatrix} 1 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} & -a_n \\ 1 & -a_1 & a_1 & \cdots & a_1 & a_1 \\ 1 & a_2 & -a_2 & \cdots & a_2 & a_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & a_{n-1} & a_{n-1} & \cdots & -a_{n-1} & a_{n-1} \\ 1 & a_n & a_n & \cdots & a_n & -a_n \end{vmatrix}.\]

再次将上述行列式升阶，考虑如下 \(n+2\) 阶行列式:

\[|C|=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} & -a_n \\ -a_1 & 1 & -a_1 & a_1 & \cdots & a_1 & a_1 \\ -a_2 & 1 & a_2 & -a_2 & \cdots & a_2 & a_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ -a_{n-1} & 1 & a_{n-1} & a_{n-1} & \cdots & -a_{n-1} & a_{n-1} \\ -a_n & 1 & a_n & a_n & \cdots & a_n & -a_n \end{vmatrix},\]

显然 \(|A|=|B|=|C|\). 将 \(|C|\) 的第一列分别加到最后的 \(n\) 列上，可得

\[|C|=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} & -a_n \\ -a_1 & 1 & -2a_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -a_2 & 1 & 0 & -2a_2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ -a_{n-1} & 1 & 0 & 0 & \cdots & -2a_{n-1} & 0 \\ -a_n & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -2a_n \end{vmatrix}.\]

上述行列式是典型的爪型行列式 (参考高代白皮书第 6 页的例 1.2)，只要利用非零主对角元将爪的一边消去，变成 (分块) 上 (下) 三角行列式即可求值出来了. 我们选择消去前两列的爪边. 在上述行列式中, 将第 \(i\) 列 (\(i=3,4,\cdots,n+2\)) 乘以 \(-\frac{1}{2}\) 都加到第一列上，再将第 \(i\) 列 (\(i=3,4,\cdots,n+2\)) 乘以 \(\frac{1}{2a_{i-2}}\) 都加到第二列上，可得

\[|C|=\begin{vmatrix} 1-\frac{n}{2} & \frac{T}{2} & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ \frac{S}{2} & 1-\frac{n}{2} & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} & -a_n \\ 0 & 0 & -2a_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2a_2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -2a_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -2a_n \end{vmatrix},\]

其中 \(S=a_1+a_2+\cdots+a_n\), \(T=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}\). 注意到上述行列式是分块上三角行列式, 从而可得

\[|A|=|C|=(-2)^{n-2}\prod_{i=1}^na_i\bigg((n-2)^2-\Big(\sum_{i=1}^na_i\Big)\Big(\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}\Big)\bigg). \quad\Box\]