SVM2---核函数的引入

前边总结了线性SVM，最终转化为一个QP问题来求解。后来又考虑到非线性SVM，如果特征特别特别多的话，直接使用QP的话求解不了，我们经过一系列的转化，把这一问题转化为训练集大小n量级的QP问题。

http://www.cnblogs.com/futurehau/p/6143178.html

在之前的基础之上，我们继续学习，引入核函数的概念，完全避免了特征数目量级的计算问题。接下来依次分析polynomial Kernel, Gaussian Kernel,并对他们进行对比分析。

一、Kernel 的引入

　　之前我们得到对偶问题的QP形式：

　　

　　这似乎是一个n量级的问题，似乎和特征的个数无关，但是仔细一看，Q矩阵每一项的求解涉及到Z空间的内积，这就是特征个数量级的一个操作。所以我们从这里入手，想想怎样可以简化Z空间内积的计算呢？

　　以二次变换为例，我们把X空间映射到Z空间，我们现在看看Z空间上的内积表达式是什么，可以怎么转换到X空间上。

　　

　　好了，我们发现Z空间上的内积刚好可以转换为X空间上的内积。所以我们就想，我们不需要显示的去先把X空间上的数据计算到空间上，然后训练参数，我们可以直接使用X空间上的参数来计算即可，这样大大降　      低了我们的计算复杂度。

　　

　　这样，上述的转换就叫做Kernel函数。它把之前变换后的空间Z上的内积运算转换为原空间上的内积运算。

　　我们再回过头来看看之前的对偶QP问题，Z空间上的哪些内积运算可以转换到X空间上呢？

　　

　　这样一来，所有的训练，测试都没有直接在Z空间上进行内积运算，所有运算都转换到了X空间上。这样所有运算就和你的特征维度没有关系了。

二、polynomial Kernel

　　之前的例子使用的转换系数都是1，那么有没有其他的系数呢？

　　加入我们改变一下系数，就能够得到不同形式的核函数。

　　

　　这些不同形式的核函数都把X映射到同一个Z空间，但区别是内积不同，那么几何定义就不一样了，那么分类的Margin就不同，这样对我们的分类效果就会有很大影响。

　　同样，我们列举这些 polynomial:

　　

三、Gaussian Kernel

　　之前，都是一些有限维度的转换，那么可以可以做到无限多维度的转化呢？借助于exp函数的泰勒展开可以实现。厉害！

　　

　　这样我们得到Gaussian Kernel:

　　

　　

　　

　　如图所示，就是一些列高斯函数的线性组合，如果是正样本，就拔高，如果是负样本，就拖下，随后得到一个能够正确分类的超平面。

　　可以看到，g(svm)就是一系列中心在Support Vector上的高斯函数的线性组合。所以gaussian kernel也叫RBF

　　注意gama较大的时候还是有可能overfit的。

四、Comparison of Kernels

　　4.1 Linear Kernel：

　　 

　　4.2 polynomial kernel: ,一般用在小Q的时候

　　 

　　4.3 Gaussian Kernel: 

　　 

　　4.4 其他kernel

　　kernel其实代表了Z空间向量的相似性，但并不是所有可以表示相似性的都可以写为kernel，kernel 需要满足以下条件：

　　

　　

针对可能存在的SVM过拟合问题，接下来讨论 soft margin SVM。http://www.cnblogs.com/futurehau/p/6165839.html