BZOJ 2669 CQOI2012 局部极小值 状压dp+容斥原理

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2669

题意概述：实际上原题意很简洁了我就不写了吧。。。。

二话不说先观察一下性质，首先棋盘很窄，可以乱搞的样子，然后注意到如果一个点是局部极小值那么周围3*3矩阵内不能有另一个局部最小值。于是画个图发现题目的数据范围最多有8个局部最小值。性质大概就是这些了。

暴力实际上是搜索，本质是多阶段决策问题。由于棋盘很小，容易让人联想到搞个插头dp之类东西来弄一下，依次填每个格子来作为一个决策阶段。然后就发现。。。这个东西太复杂了。。。等你想出来不知道什么时候去了（而且很有可能想不出来）。。。于是需要换个思路，把决策阶段改一下，每一行作为阶段的话更加复杂。。。弃疗。那么决策阶段很有可能就不是按照格子的顺序来的了。注意到局部最小值一定是周围的格子里面最小的那个，并且最多只有8个局部最小值，那么尝试从小到大填充每一个数字作为阶段，把局部最小值是否填充的状态压进去。

于是令f(s,i)表示用1~i的数字填充棋盘，集合s中的局部最小值已经被填充的方案数。

分析这种决策下的性质，发现一个局部最小值一定是以其为中心3*3内最先填的那个，也就是说如果一个局部最小值没有填充，那么周围3*3的点都不能填充。排除所有不可以填充的点剩下的就是可以填充的点，令cnt[s]表示局部极小值填充状态为s时的棋盘上最多有几个数字。

得到f(s,i)=f(s,i-1)*C(cnt[s]-i+1,1)+sum{ f(s-{j},i-1) | j是s的子集 }，时间复杂度O(N*M*X*2^X)，X表示棋盘上有多少个局部极小值。

但是可以注意到在状态设计的时候可以保证题目给出的X都成为局部最小值，但是可能让不是局部最小值的位置变成局部最小值。

于是这题最神的地方来了：容斥！由于棋盘很小，所以说打个回溯跑一下局部极小值的分布位置发现最多也就16000多的方案。我们用回溯跑出每一种题目要求位置为局部极小值的棋盘状态，对于每个状态来一次dp，然后根据有多少个额外的点是局部极小值进行奇偶容斥就得出答案。

时间复杂度O(O(容斥)*N*M*X*2^X)

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 #include<queue>
 #include<set>
 #include<map>
 #include<vector>
 #include<cctype>
 using namespace std;
 const int maxn=;
 const int maxm=;
 const int maxs=(<<)+;
 const int mo=;

 int N,M,X,ans;
 char mp[maxn][maxm];
 struct XY{ int x,y; }p[];
 int bin[],f[maxs][*+],cnt[maxs],vis[maxn][maxm],sz[maxs];

 void data_in()
 {
     scanf("%d%d",&N,&M);
     for(int i=;i<=N;i++){
         scanf("%s",mp[i]+);
         for(int j=;j<=M;j++)
             if(mp[i][j]=='X') p[++X]=(XY){i,j};
     }
     for(int i=;i<=;i++) bin[i]=<<i-;
     for(int s=;s<bin[];s++) sz[s]=sz[s>>]+(s&);
 }
 void dp(int tot)
 {
     for(int s=;s<bin[tot+];s++){
         cnt[s]=;
         memset(vis,,sizeof(vis));
         for(int j=;j<=tot;j++) if(!(bin[j]&s)){
             int x=p[j].x,y=p[j].y;
             vis[x-][y-]=vis[x-][y]=vis[x-][y+]=
             vis[x][y-]=vis[x][y]=vis[x][y+]=
             vis[x+][y-]=vis[x+][y]=vis[x+][y+]=;
         }
         for(int i=;i<=N;i++)
         for(int j=;j<=M;j++) cnt[s]+=-vis[i][j];
     }
     memset(f,,sizeof(f));
     f[][]=;
     for(int i=;i<=cnt[];i++)
         f[][i]=f[][i-]*(cnt[]-i+)%mo;
     for(int s=;s<bin[tot+];s++)
     for(int i=sz[s];i<=cnt[s];i++){
         f[s][i]=f[s][i-]*(cnt[s]-i+)%mo;
         for(int j=;j<=tot;j++) if(bin[j]&s)
             f[s][i]=(f[s][i]+f[s^bin[j]][i-])%mo;
     }
 }
 bool check(int x,int y) { return mp[x-][y-]!='X'&&mp[x-][y]!='X'&&mp[x-][y+]!='X'&&mp[x][y-]!='X'; }
 void dfs(int x,int y,int n)
 {
     if(x>N){
         dp(X+n);
         if(n%==) ans=(ans+f[bin[X+n+]-][N*M])%mo;
         else ans=(ans-f[bin[X+n+]-][N*M]+mo)%mo;
         return;
     }
     int xx=x,yy=y+;
     if(yy>M) xx++,yy=;
     if(mp[x][y]=='X'){
         if(check(x,y)) dfs(xx,yy,n);
     }
     else{
         if(check(x,y)){
             mp[x][y]='X',p[X+n+]=(XY){x,y};
             dfs(xx,yy,n+);
             mp[x][y]='.';
         }
         dfs(xx,yy,n);
     }
 }
 void work()
 {
     dfs(,,);
     printf("%d\n",ans);
 }
 int main()
 {
     data_in();
     work();
     return ;
 }