网络流(dinic算法)

网络最大流（dinic）

模型

在一张图中,给定一个源点s,给定汇点t,点之间有一些水管，每条水管有一个容量，经过此水管的水流最大不超过容量，问最大能有多少水从s流到t（s有无限多的水）。

解法

dinic算法通过不断寻找增广路的方法得到最大流。

增广路：从源点开始通过一些边到达汇点的边集称为一条增广路。

显然，通过一条增广路的水流是有最小限制的，其就等于增广路上水管最小的通过量。

通过寻找一条条增广路，每次找到后经过的边权都减去最大流量，并将答案加上最大流量，就得到了部分解。

但是部分解不一定是最优的，因为程序不存在反悔机会。比如

对于此图来说如果先找到的增广路是1->2->4->6,在下一次寻找中,1->3->4然后就会发现无路可走了，得出的答案就是1，实际上如果走1->2->5->6和1->3->4->6答案为2，显然更优。

所以，我们在找到一条增广路后需要将经过的路径反向建边构造反悔的路径如图

这是第一次增广选择1->2->4->6之后，对于经过的边反向建立反悔边，如果此时继续寻找增广路，就会选择1->3->4->2->5->6。这两条路径相结合，实际上就是走了1->2->5->6和1->3->4->6这两段。所以在寻找完增广路后反向建边，可以使答案不出问题。

但是这样的做法其实是EK算法，它会被某些特殊数据卡住。如图