题解 洛谷 P5443 【[APIO2019]桥梁】

考虑若只有查询操作，那么就可以构造\(Kruskal\)重构树，然后在线询问了，也可以更简单的把询问离线，把询问和边都按权值从大到小排序，然后双指针依次加入对于当前询问合法的边，用并查集维护每个点的答案即可。

现在加上修改操作，考虑可以对所有操作分块，对块内所有询问操作排序，和之前的离线做法一样，用双指针依次加边。

但是有些边会在块内这些操作中涉及修改，那么对于每个询问,暴力扫一遍块内的修改操作，若一个修改操作在当前询问的时间点之前，那么就执行对应边的修改，执行完所有能够执行的修改后，再考虑这些涉及修改的边，加入合法的。

当指针扫到下一个询问时，因为询问已经不再是按时间顺序，所以有可能上一个询问执行的一些修改在当前询问不能生效，所以用可撤销并查集把除了不涉及修改的边都撤销掉，然后就和之前处理询问的过程一样了。

设块大小为\(S\)，对于一个块，需要对边排序和处理询问，处理询问时需要枚举所有的修改和用可撤销并查集来维护，那么处理一个块的复杂度为\(O(m\log m + S^2 \log n)\)，总共\(\frac{q}{S}\)个块，所以总复杂度就为\(O(\frac{q m\log m}{S}+ qS \log n)\)，块大小取\(\sqrt{m\log m}\)时会比较快。

\(code:\)

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 200010
using namespace std;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
    x=0;char c=getchar();bool flag=false;
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')flag=true;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
    if(flag)x=-x;
}
int n,m,S,qu,tot,top,cnt1,cnt2;
int ans[maxn],fa[maxn],siz[maxn],bel[maxn],val[maxn];
bool vis[maxn];
struct edge
{
    int x,y,v,id;
}e[maxn];
bool cmp1(const edge &a,const edge &b)
{
    return a.v>b.v;
}
struct query
{
    int x,v,id,opt;
}q[maxn],q1[maxn],q2[maxn];
bool cmp2(const query &a,const query &b)
{
    return a.v>b.v;
}
struct node
{
    int x,y;
}st[maxn];
int find(int x)
{
    return fa[x]==x?x:find(fa[x]);
}
void merge(int x,int y)
{
    int rx=find(x),ry=find(y);
    if(rx==ry) return;
    if(siz[rx]<siz[ry]) swap(rx,ry);
    st[++top]=(node){rx,ry};
    fa[ry]=rx,siz[rx]+=siz[ry];
}
void del(int id)
{
    int x=st[id].x,y=st[id].y;
    fa[y]=y,siz[x]-=siz[y];
}
void init()
{
    top=cnt1=cnt2=0,sort(e+1,e+m+1,cmp1);
    for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i,siz[i]=1;
    for(int i=1;i<=m;++i) val[i]=vis[i]=0,bel[e[i].id]=i;
    for(int i=1;i<=tot;++i)
    {
        if(q[i].opt==1) q1[++cnt1]=q[i],vis[q[i].x]=true;
        else q2[++cnt2]=q[i];
    }
    sort(q2+1,q2+cnt2+1,cmp2);
}
void work()
{
    init();
    int now,pos=1;
    for(int i=1;i<=cnt2;++i)
    {
        int x=q2[i].x,v=q2[i].v,id=q2[i].id;
        while(e[pos].v>=v)
        {
            if(!vis[e[pos].id])
                merge(e[pos].x,e[pos].y);
            pos++;
        }
        now=top;
        for(int j=1;j<=cnt1;++j)
            val[q1[j].x]=e[bel[q1[j].x]].v;
        for(int j=1;j<=cnt1;++j)
            if(q1[j].id<id)
                val[q1[j].x]=q1[j].v;
        for(int j=1;j<=cnt1;++j)
            if(val[q1[j].x]>=v)
                merge(e[bel[q1[j].x]].x,e[bel[q1[j].x]].y);
        ans[id]=siz[find(x)];
        while(top>now) del(top--);
    }
    for(int i=1;i<=cnt1;++i) e[bel[q1[i].x]].v=q1[i].v;
}
int main()
{
    read(n),read(m),S=sqrt(m*log2(m));
    for(int i=1;i<=m;++i)
        read(e[i].x),read(e[i].y),read(e[i].v),e[i].id=i;
    read(qu);
    for(int i=1;i<=qu;++i)
    {
        q[++tot].id=i,read(q[tot].opt);
        read(q[tot].x),read(q[tot].v);
        if(tot==S) work(),tot=0;
    }
    if(tot) work();
    for(int i=1;i<=qu;++i)
        if(ans[i])
            printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}