exgcd 学习笔记

最大公约数

• 更相减损术：\(\gcd(x,y)=\gcd(x,y-x)(x\leq y)\)。

证明：

设 \(\gcd(x,y)=k\)，则 \(x=kp,y=kq,\gcd(p,q)=1\)。

那么 \(\gcd(x,y-x)=\gcd(kp,kq-kp)=k\times\gcd(p,q-p)\)。

设 \(\gcd(p,q-p)=r\)，则 \(p=ra,q-p=rb\)。

那么 \(q=r(a+b)\)。

因为 \(\gcd(p,q)=1=\gcd(ra,r(a+b))\)。

所以 \(r=\gcd(a,a+b)=1,\gcd(x,y-x)=\gcd(x,y)=k\)，得证。

• 辗转相除法（欧几里得算法）：\(\gcd(x,y)=\gcd(y\bmod x,x)(x\leq y)\)。

取模相当于做多次减法，其实就是更相减损术的优化。

最小公倍数

容斥，两数之积除以两数的最大公约数。

小技巧：若数以质因数分解的形式给出，算最大公约数系数取 \(\min\)，算最小公倍数系数取 \(\max\)。

拓展欧几里得算法

有不定方程 \(ax+by=\gcd(a,b)\)，求出任意一个整数解（根据裴蜀定理，这东西一定有整数解）。

假设我们当前已经得出了方程

\[b\bmod a\times x+ay=\gcd(b\bmod a,a)
\]

的一组整数解 \(x=p,y=q\)，根据 gcd 的性质有

\[b\bmod a\times p+aq=\gcd(a,b)
\]

将取模拆掉

\[(b-\lfloor b/a\rfloor a)p+aq=\gcd(a,b)
\]

\[a(q-\lfloor b/a\rfloor p)+bp=\gcd(a,b)
\]

那么 \(x=q-\lfloor b/a\rfloor p,y=p\) 就是方程 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组整数解。

所以在求解 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 时我们可以先递归求解 \(b\bmod a\times x+ay=\gcd(b\bmod a,a)\) 然后计算当前的解。

这个递归的终止条件是 \(a=0\)，此时 \(x=0,y=1\) 是一组解，返回即可（虽然 \(x\) 取什么都没有关系但我们想让解的绝对值尽量小）。

Tips：通过 exgcd 求出的解的绝对值是小于等于系数的绝对值的最大值的（边界按上面写的），即 \(\max(|x|,|y|)\leq\max(|a|,|b|)\)。

具体证明我也不会，是蛙告诉我滴/qq，先鸽着以后再补。