MT【206】证明整数数列

已知方程$x^3-x^2-x+1=0$,的三根根为$a,b,c$,
若$k_n=\dfrac{a^n-b^n}{a-b}+\dfrac{b^n-c^n}{b-c}+\dfrac{c^n-a^n}{c-a}$

证明:$\{k_n\}$为整数数列。

提示:注意到$x^3=x^2+x+1$故

$a^{n+1}=a^n+a^{n-1}+a^{n-2}$
$b^{n+1}=b^n+b^{n-1}+b^{n-2}$
$c^{n+1}=c^n+c^{n-1}+c^{n-2}$
从而可得$k^{n+1}=k^n+k^{n-1}+k^{n-2}$,由$k_0=0,k_1=3,k_2=2$数归可得证.