HDU----(4549)M斐波那契数列(小费马引理+快速矩阵幂)

M斐波那契数列

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Problem Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

 

Input

输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

 

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

 

Sample Input

01 0

6 10 2

 

Sample Output

0
60

 

Source

2013金山西山居创意游戏程序挑战赛——初赛（2）

 

F[n] = F[n-1] * F[n-2] ---》 F[n] = F[n-2]^2* F[n-3]^1----》F[n] = F[n-3]^3* F[n-4]^2----》

 F[n] = F[n-4]^5* F[n-5]^3  -----......--->F[n] = F[2]^a[n-1]* F[1]^a[n-2];    //我们可以的到处a[n]为一个斐波那契数列

但是对于这样一个式子：

      F[n] = F[2]^a[n-1]* F[1]^a[n-2];  我们依旧还是不好处理哇，毕竟n<1e9这么大，这样我们不妨引用小费马引理处理....

    首先我们应该知道小费马引理的定义： 

                           形如：  (a^b)mod c = a^(b mod (c-1) ) mod c;

    这样，我们就可以找到这样一个方法来做这道题：

                  F[n] = F[2]^a[n-1]* F[1]^a[n-2];   可以写成  F[n] = (F[2]^(a[n-1]%(mod-1))* F[1]^(a[n-2]%(mod-1)))%mod;

     可以明确的是，F[2],F[1]我们事先已经知道，所以问题在于求解a[n-1],a[n-2]由于数据巨大，为了提升效率我们可以使用矩阵快速幂来求解

     对于  a[n]=a[n-1]+a[n-2]  a[0]=a[1]=1;  这样的斐波那契数列，我们应该不难构造出它的矩阵来

      |a[n]   |   =|1,1|^(n-2)  |a[n-1]|

      |a[n-1]|     |1,0|*          |a[n-2]|

得到了 a[n],a[n-1]之后我们在使用一个快速幂求解 a^b 即可。

代码：

 //#define LOCAL
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #define LL __int64
 using namespace std;
 const int mod =;

 LL mat[][];
 LL ans[][];
 LL n,aa,bb;

 void Matrix(LL a[][],LL b[][])
 {
     LL cc[][]={};
     for(int i=;i<;i++)
     {
       for(int j=;j<;j++)
       {
           for(int k=;k<;k++)
         {
             cc[i][j]=(cc[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%(mod-);
         }
       }
     }
     for(int i=;i<;i++)
     {
       for(int j=;j<;j++)
       {
         a[i][j]=cc[i][j];
       }
     }
 }

 void pow(LL w)
 {
   mat[][]=mat[][]=mat[][]=;
   mat[][]=;

   while(w>)
   {
     if(w&) Matrix(ans,mat);
      w>>=;
      if(w==)break;
      Matrix(mat,mat);
   }
 }
 LL pow_int(LL a,LL b)
 {
     LL ans=;
     while(b>)
     {
      if(b&){
          ans*=a;
          ans%=mod;
      }
       b>>=;
       if(b==)break;
       a*=a;
       a%=mod;
     }
    return ans;
 }
 void input(LL w)
 {
      ans[][]=ans[][]=;
      ans[][]=ans[][]=;
      pow(w-);
      LL fn_2=(ans[][]+ans[][])%(mod-);
      pow();
      LL fn_1=(ans[][]+ans[][])%(mod-);
      printf("%I64d\n",(pow_int(aa,fn_2)*pow_int(bb,fn_1))%mod);
 }

 int main()
 {
   #ifdef LOCAL
    freopen("test.in","r",stdin);
   #endif
   while(scanf("%I64d%I64d%I64d",&aa,&bb,&n)!=EOF)
      if(n==)printf("%I64d\n",aa);
      else if(n==)printf("%I64d\n",bb);
      else
         input(n);
  return ;
 }