LOJ.6074.[2017山东一轮集训Day6]子序列(DP 矩阵乘法)

题目链接

参考yww的题解。本来不想写来但是他有一些笔误...而且有些地方不太一样就写篇好了。

不知不觉怎么写了这么多...

另外还是有莫队做法的...（虽然可能卡不过）

---

\(60\)分的\(O(n^2)\)做法就是，令\(f[i]\)表示以\(s[i]\)结尾的不同子序列个数，\(las[c]\)表示\(c\)字符上次出现的位置（没有出现过则为\(-1\)），转移是：$$f[i]=\begin{cases}2f[i-1]+1&,las[s[i]]=-1\2f[i-1]-f[las[s[i]]]&,las[s[i]]\neq-1\end{cases}$$

---

上面这个做法挺妙的，但是好像没什么优化空间。

考虑另一种DP，令\(f[i][j]\)表示前\(i\)个字符，以字符\(j\)结尾的不同子序列个数。转移为：$$f[i][j]=\begin{cases}f[i-1][j-1]&,j\neq s_i\\sum_{k=0}^mf[i-1][k]&,j=s_i\end{cases}$$

其中字符集是\(0\sim m-1\)（\(m=9\)），特别的令\(f[i][m]\)表示前\(i\)个字符什么也没选的方案数，因为子序列可以从任意位置开始。

这样不会算重，感觉也挺妙的。。（好吧是自己菜）

显然可以用矩阵把转移表示出来。令$$F_i=\left[\begin{matrix}f_{i,1}\f_{i,2}\\vdots\f_{i,m+1}\end{matrix}\right]$$

转移矩阵就是\(A[i][i]=1,A[c][j]=1\ (c=s[i])\)（把单位矩阵\(s[i]\)那一行全设为\(1\)）。就是这样子：$$F_i=A_iF_{i-1}\A_i=\left[\begin{matrix}1&&&&\&1&&&\1&1&1&1&1\&&&1&\&&&&1\end{matrix}\right]$$

再考虑一下初始化、最后的求和，令$$\begin{aligned}U&=\left[\begin{matrix}1\1\\vdots\1\end{matrix}\right]\V&=\left[\begin{matrix}0\ 0\ \cdots\ 0\ 1\end{matrix}\right]\end{aligned}$$

\(A_i\)显然有逆矩阵（可以比较容易地写出来）。那么区间\([l,r]\)的答案就是$$\begin{aligned}&UA_rA_{r-1}\cdots A_lV\=&UA_rA_{r-1}\cdots A_1{A_1}^{-1}{A_2}{-1}\ldots A_{l-1}V\end{aligned}$$

这里把\(U\)放到了前面，\(V\)放到了后面，都一样，我觉得还是这样方便一些...

需要注意矩阵乘法没有交换律，注意乘的顺序。

所以预处理一个转移矩阵的前缀积\(f_i\)、转移矩阵逆元的前缀积\(g_i\)，就可以\(O(m^3)\)回答一次询问了。

预处理\(f_i\)的时候让它和\(U\)乘一下，同理\(g_i\)和\(V\)乘一下，询问就是\(O(m)\)的了。

但是预处理的复杂度还是\(O(nm^3)\)的（但是开O2已经能过了...）。

注意到转移矩阵非常特殊，一个矩阵\(M\)乘上\(A_i\)时，\(M_{s_i,j}'\)是\(A_i\)第\(j\)列元素的和，\(M'\)其它行的元素不变。这样乘\(A_i\)可以做到\(O(m)\)。

同时左乘\(U\)得到的矩阵就是对列求和。

那么我们维护\(f_i\)的时候（乘了\(U\)，是个\(1\times n\)的），第\(j\)列的和即\(f_{i,j}\)，就是上一次第\(j\)列的和\(*2\)减去\(A_{s_i,j}\)，上一次第\(j\)列的和就是\(f_{i-1,j}\)。那么这个转移也是\(O(m)\)的。

同理，\(A_i^{-1}\)大概是这样：$$A_i=\left[\begin{matrix}1&&&&\&1&&&\-1&-1&1&-1&-1\&&&1&\&&&&1\end{matrix}\right]$$

即\(A[i][i]=1,A[c][j]=-1\ (c=s[i],j\neq i)\)（把单位矩阵\(s[i]\)那一行除了\(A_{s[i],s[i]}\)全设为\(-1\)）。

一个矩阵乘\(A_i^{-1}\)时，除了\(c=s[i]\)列之外的列\(M_{i,j}\)，都会减去\(M_{i,c}\)，第\(c\)列的元素不变。维护一个整行减了多少的标记，对\(M_{i,c}\)单点修改一下即可。

注意到假设其中一行是：\(\left[a_1-v\quad a_2-v\quad a_3-v\quad a_4-v\right]\)，\(s[i]=3\)时，会变成\(\left[a_1-a_3\quad a_2-a_3\quad (2a_3-v)-a_3\quad a_4-a_3\right]\)，也就是对\(3\)单独修改一下，所有数每次会减掉上次那个数，打个标记修改也是\(O(m)\)的了。

维护\(g_i\)时，注意到右乘一个\(V\)就是把矩阵最后一列取出来，直接求即可。同样\(O(m)\)。

那么总复杂度就做到\(O((n+q)m)\)啦。

---

//263ms	8760K
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define rg register
#define mod 1000000007
#define Mod(x) x>=mod&&(x-=mod)
#define Add(x,v) (x+=v)>=mod&&(x-=mod)
#define Add2(x,y) (x+y>=mod?x+y-mod:x+y)
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 500000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=1e5+7,M=10;
const LL LIM=6e18;

int s[N],f[N][M],g[N][M];
char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

inline int read()
{
	int now=0;register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-48,c=gc());
	return now;
}
void Pre(const int n)
{
	static int A[M][M],B[M][M],tag[M];
	for(int i=0; i<M; ++i) A[i][i]=B[i][i]=f[0][i]=1;
	g[0][M-1]=1;
	for(rg int i=1; i<=n; ++i)
	{
		rg int c=s[i];
		for(rg int j=0; j<M; ++j)
		{
			rg int tmp=f[i-1][j]<<1; Mod(tmp);
			f[i][j]=Add2(tmp,mod-A[c][j]);
			A[c][j]=f[i-1][j];
			tmp=B[j][c]<<1, Mod(tmp); rg int tmp2=B[j][c];
			g[i][j]=Add2(B[j][M-1],mod-B[j][c]);
			B[j][c]=Add2(tmp,mod-tag[j]), tag[j]=tmp2;
		}
	}
}

int main()
{
	int n=0;
	register char c; while(isalpha(c=gc())) s[++n]=c-'a';
	Pre(n);
	for(int q=read(); q--; )
	{
		int l=read()-1,r=read();
		LL ans=0;
		if(l) for(int i=0; i<M; ++i) ans+=1ll*f[r][i]*g[l][i], ans>=LIM&&(ans%=mod);
		else ans=f[r][M-1];
		printf("%lld\n",(ans-1)%mod);
	}

	return 0;
}