[转]Splay Tree

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Splay Tree（又叫伸展树）本质上也是一棵二叉查找树。它不是严格平衡的，但通过一种伸展（splay）操作可以使它一次操作的时间均摊复杂度为O(logN)。详细时间复杂度证明请参考集训队论文。这里，我只说说伸展树的实际操作。

和其他二叉查找树一样，Splay Tree支持查找询问、修改、加入、删除等操作，但又有所不同。

对于询问，每次找到目标值后，把目标位置伸展到根。

对于修改，与询问类似。

对于加入，如果是一个节点加入，则与上列相似。若是插入一个区间（一棵子树），可以把要插入地方的前一个节点伸展到根，把后一个节点伸展到根的右节点，这样就可以直接把那棵子树作为根节点的右节点的左子树了。

删除的原理与加入相同，都是把要删除的区间弄成（就是把前一个点伸展到根，后面第一个节点伸展到根的右节点）根节点的右节点的左子树，然后直接拿掉就行了。

（以上所有伸展操作指的都是splay操作）

以上所有操作都涉及到一个splay操作，那splay操作是什么呢？了解Treap的应该都明白用来维护树平衡的左旋和右旋操作，splay操作就是一系列的左旋和右旋操作。

为什么要进行splay操作呢？这样在询问后不是要用很多时间来splay？这样不是会增大时间的消耗吗？可是想想，如果多次询问一个很深的节点的话，每一次询问的复杂度都会接近N，这样二叉树就很容易超时。每一次都做splay后可以证明所有操作的均摊复杂度是O(logN)，这样，就保持了二叉查找树的优美性。

那splay操作如何实现呢？

我们不妨设要伸展至根的节点为x，根为root，x的父亲是y，y的父亲是z。

首先，它分单选和双旋两种基本操作。

单选：当y是root的时候，直接用一个左旋或者右旋（Treap的操作，见附注）就可以把x伸展至根。

双旋：这就要分两种情况讨论了。

①：x和y同为它们父亲的左儿子或右儿子时，先把y旋到z，再把x旋到y。（同样是用左旋和右旋操作）

②：x和y不同为它们父亲的左儿子或右儿子时，把x做两个单旋。（左右旋操作）

为什么要有双旋的①操作呢？试想一下如果当前是一条链的话，在查询完最深的节点后，如果没有①的操作而只用N个单旋把节点单旋上去的话，splay操作后的树仍然是一条链，如图1-1至图1-5：

     

　　但若是用双旋的话情况就不同了，如图2-1至2-5：

   

        

在询问节点数很大的链时，双旋的优越性更明显。

以上操作可以通过调用一个子程序splay(root,x)完成，表示把x节点伸展到根。很明显，如果我们把root改成x到根路径上面的任意一个节点，就可以把x节点伸展到x到根的路径上任一位置。

附注：

可以看出，左旋和右旋适用于一棵二叉树中的任意一个节点，并且在旋转之后的二叉树保证合法性。

这里有一道Splay Tree的练手题，虽然它可以用时效性很高的树状数组做，也可以用线段树做，或者是其他的各种树做。。。但就当它只能用Splay Tree做好了。。。据说能过这题的Splay常数就不会太大。

http://www.cnblogs.com/zhsl/p/3189912.html