【洛谷】2120：[ZJOI2007]仓库建设【斜率优化DP】

P2120 [ZJOI2007]仓库建设

题目背景

小B的班级数学学到多项式乘法了，于是小B给大家出了个问题：用编程序来解决多项式乘法的问题。

题目描述

L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。

工厂1在山顶，工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。

突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。

由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。

对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。

假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据：

• 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;
• 工厂i目前已有成品数量Pi;
• 在工厂i建立仓库的费用Ci;

请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

输出格式：

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

输出样例#1： 复制

32

说明

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。

如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)5+(9-5)3=57，总费用67，不如前者优。

对于20%的数据， N ≤500；

对于40%的数据， N ≤10000；

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

---

Solution

很容易想到dp转移方程：$dp[i]=min(dp[j]+((x[i]-x[j+1])*p[j+1]+(x[i]-x[j+2])*p[j+2]+...+(x[i]-x[i-1])*p[i-1]+(x[i]-x[i])*p[i]))+c[i]$，最后一个i并没有影响。

化简得：$dp[i]=min(dp[j]+x[i]*\sum_{k=j+1}^{i}p[k]-\sum_{k=j+1}^{i}p[k]*x[k])+c[i]$

设$sump[i]=\sum_{j=1}^ip[j],sum[i]=\sum_{j=1}^ip[j]*x[j]$

那么$dp[i]=min(dp[j]+x[i]*(sump[i]-sump[j])-(sum[i]-sum[j]))+c[i]$

所以要求的实际上是最小的min中间的值。

当j比k优当且仅当$dp[j]+x[i]*(sump[i]-sump[j])-(sum[i]-sum[j])<dp[k]+x[i]*(sump[i]-sump[k])-(sum[i]-sum[k])$

就是$dp[j]-x[i]*sump[j]+sum[j]<dp[k]-x[i]*sump[k]+sum[k]$

$\frac{(dp[j]+sum[j])-(dp[k]+sum[k])}{sump[j]-sump[k]}<x[i]$

设$Y(i)=dp[i]+sum[i],X(i)=sump[i]$

那么$\frac{Y(j)-Y(k)}{X(j)-X(k)}<x[i]$

用斜率优化即可QAQ

先更新队首，队首比队中第二元素劣就删除。

再用队首更新当前dp值。

最后更新队尾，如果$work(t,t-1)>work(i,t)(work(j,k)表示上面公式的值)$，那么队尾无用。因为当$work(t,t-1)>=x[i]$时，$t-1$比$t$优。当$work(t,t-1)<x[i]$时，又因为$work(t,t-1)>work(i,t)$，$i$比$t$优。

最后再入队即可。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

LL n;
LL dp[], sump[], sum[];
LL x[], p[], c[];
LL Y(int i) {
    return dp[i] + sum[i];
}

LL X(int i) {
    return sump[i];
}

double work(int j, int k) {
    return 1.0 * (Y(j) - Y(k)) / (X(j) - X(k));
}

LL q[];
int main() {
    scanf("%lld", &n);
    for(int i = ; i <= n; i ++) {
        scanf("%lld%lld%lld", &x[i], &p[i], &c[i]);
        sump[i] = sump[i - ] + p[i];
        sum[i] = sum[i - ] + x[i] * p[i];
    }
    int h = , t = ;
    for(int i = ; i <= n; i ++) {
        while(h < t && work(q[h + ], q[h]) < x[i])    h ++;
        int j = q[h];    dp[i] = dp[j] + x[i] * (sump[i] - sump[j]) - sum[i] + sum[j] + c[i];
        while(h < t && work(q[t], q[t - ]) > work(i, q[t]))    t --;
        q[++t] = i;
    }
    printf("%lld", dp[n]);
    return ;
}