【BZOJ】4872: [Shoi2017]分手是祝愿 期望DP

【题意】给定n盏灯的01状态，操作第 i 盏灯会将所有编号为 i 的约数的灯取反。每次随机操作一盏灯直至当前状态能够在k步内全灭为止（然后直接灭），求期望步数。n,k<=10^5。

【算法】期望DP

【题解】对于当前状态，编号最大的亮灯必须通过操作自身灭掉。

证明：假设通过操作编号更大的灯灭掉，那么编号更大的灯只能通过操作自己灭掉，则与原来状态无区别，得证。

运用这个结论，每次灭掉最大编号的灯后的局面中，编号最大的灯一定严格小于原最大灯，所以至多需要n次操作。

从大到小，处理出m盏待操作灯，这样一个局面就可以描述成待操作灯的数目，从而考虑期望DP。

最直观地，设f[i]表示剩余 i 盏操作灯的期望步数，根据全期望公式：

$$f[i]=\frac{i}{n}*f[i-1]+\frac{n-i}{n}*f[i+1]+1$$

等等，高斯消元？不资瓷！我们想办法变成单方向DP，去掉f[i-1]。

设f[i]表示从 i 盏待操作灯变成 i-1 盏待操作灯的期望步数，那么根据全期望公式：（省略i/n*0）

$$f[i]=\frac{n-i}{n}*(f[i+1]+f[i])+1$$

好啦！移项即可计算f[i]，最后：

$$ans=\sum_{i=k+1}^{m}f[i]*n!$$

复杂度O(n√n)。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=,MOD=;
int n,m,k,ans,a[maxn],f[maxn];
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){if(!b){x=;y=;}else{exgcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);}}
int inv(int a){int x,y;exgcd(a,MOD,x,y);return (x%MOD+MOD)%MOD;}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=n;i>=;i--)if(a[i]){
        m++;
        for(int j=;j*j<=i;j++)if(i%j==){
            if(j*j==i)a[j]^=;else a[j]^=,a[i/j]^=;
        }
    }
    for(int i=n;i>k;i--)f[i]=(n+1ll*(n-i)*f[i+]%MOD)*inv(i)%MOD;
    if(m<=k)ans=m;else{
        for(int i=m;i>k;i--)ans=(ans+f[i])%MOD;
        ans=(ans+k)%MOD;
    }
    for(int i=;i<=n;i++)ans=1ll*ans*i%MOD;
    printf("%d",ans);
    return ;
}