COGS2353 【HZOI2015】有标号的DAG计数 I

题面

题目描述

给定一正整数n，对n个点有标号的有向无环图(可以不连通)进行计数，输出答案mod 10007的结果

输入格式

一个正整数n

输出格式

一个数，表示答案

样例输入

3

样例输出

25

提示

对于20%的数据：n<=5

对于50%的数据：n<=500

对于100%的数据：1<=n<=5000

题目分析

设\(f(i)\)表示有\(i\)个点构成DAG图

设其中\(j\)个点出度为\(0\)，则有：

\[f(i)=\sum_{j=1}^i\binom ij2^{(i-j)\cdot j}\cdot f(i-j)
\]

意思是，在\(i\)个点中选出\(j\)个点有\(\binom ij\)种方案，

在\(i-j\)个点与这\(j\)个点之间随意连边，\(i-j\)个点构成的图仍为DAG的情况数。

但由于无法保证那\(i-j\)个点一定出度不为\(0\)，所以需要容斥。

\[f(i)=\sum_{j=1}^i\binom ij2^{(i-j)\cdot j}\cdot f(i-j)\cdot (-1)^{j-1}
\]

代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int N=5005,mod=10007;
using namespace std;
inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int f[N],c[N][N];
int ksm(int x,int k){
	int ret=1;
	while(k){
		if(k&1)ret=ret*x%mod;
		x=x*x%mod,k>>=1;
	}
	return ret;
}
int main(){
	freopen("DAG.in","r",stdin);
	freopen("DAG.out","w",stdout);
	int n=Getint();
	c[0][0]=f[0]=1;
	for(register int i=1;i<=n;c[i++][0]=1){
		for(register int j=1;j<=i;++j){
			c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
			f[i]=(f[i]+c[i][j]*ksm(2,j*(i-j)%(mod-1))%mod*f[i-j]%mod*((j&1)?1:-1)+mod)%mod;
		}
	}
	cout<<f[n];
	return 0;
}