CF1836

A.Destroyer

开个桶记录个数，看满不满足单调不上升即可。

B.Astrophysicists

辛辛苦苦写了这么久的文章就没了？？？？烦死了。

自己做 Virtual Contest 的时候这道题打表打了半天（20min）才搞定……

题目大意

有 \(n\) 个人，\(k\) 个金币，每个金币价值 \(g\) 个银币。

良心公司要把这 \(k\) 个金币作为工资分给这 \(n\) 个人，但是没有办法平均分配，良心老板想出了分配规则：

• 由你设定每个人分配的银币数 \(x_i\)。

• 你需要保证 \(\sum_{i = 1}^n x_i = k \times g\)。

• 老板会把银币数转化为金币发放，所以想出了以下规则：

  • 令 \(r = x \mod g\)，如果 \(r \ge \lceil \frac g2 \rceil\)，那么公司会额外花费 \(g - r\) 个银币以凑出完整的金币（此时花费了 \(x + g - r\) 个银币）。

  • 反之，会吞掉这 \(r\) 个银币以凑出完整的金币（此时花费了 \(x - r\) 个银币）。

假定最终公司的花费为 \(p\) 个银币。你需要最小化 \(p\)，并输出 \(k \times g - p\)。

解题思路

如果开始没有思路，那么打表是一个很好的方法。

首先我们可以很轻易的得到一个 \(O(nkg)\) 的 DP 算法。

设 \(f_{x, i}\) 表示处理到第 \(x\) 个人，一共分配了 \(i\) 个银币公司省下的最多银币。

有转移方程：

\[f_{x, i} = \max_{0 \le j \le i} f_{x - 1, i - j} + w(j)
\]

其中：

\[r = j \mod g
\]

\[w(j) = \begin{cases}
r - g &, r \ge \lceil \frac g2 \rceil \\
r &, r \lt \lceil \frac g2 \rceil
\end{cases}
\]

运行后输出 DP 数组，结合 \(m = \lceil \frac g2 \rceil - 1\)可以很轻易的发现规律：

最终的数组分为两个部分：

• 第一个部分为 \([0, nm]\)，下标与数值一一对应。

• 第二部分为 \([-\lfloor \frac g2 \rfloor - m - nm, nm]\) 不断循环。

---

现在我们来严谨证明一下。

理想状态下，我们自然是给每一个人分发 \(m = \lceil \frac g2 \rceil - 1\) 个银币，这样就可以吞掉 \(nm\) 个银币。

但是可能存在一下两种情况：

• 其实根本没有 \(nm\) 个银币，所以全部都分配到 \(\le m\) 个。所以全部可以吞掉。对应上文中第一部分。

• 还剩下了 \(r = k \times g - nm\) 个银币。由于我们可以按照一个金币为单位再分配，所以我们只需要关注 \(r \mod g\) 的值。

  显然，如果把这些银币分给不同的人是不优的，因为破坏了老板吞掉更多人 \(m\) 个银币的美梦。

  所以这些银币应该全部分配给一个人，对于答案做出贡献 \(w(m + k \times g- nm) - m\)。

  （化简一下）对应上文中第二部分。

提交记录：https://codeforces.com/contest/1836/submission/211134556

C.k-th equality

注意，注意：

Each input file has at most 5 test cases which do not satisfy A,B,C≤3.

所以，\(O(10^{\min(A, B)})\) 可以过。

那么考虑顺序枚举 \(A\) 位的数 \(a\)，满足的数 \(b\) 应该为一个连续区间，这个可以 \(O(1)\) 解决。

所以区间长度与 \(k\) 判断一下即可。

提交记录：https://codeforces.com/contest/1836/submission/211137329