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  我们知道在一个图中,每个点最多只能匹配一条边的情况,是二分图的最大匹配问题.然而还有种情况是:每个点可以匹配多条边,但有上限,假设为L.即Li表示最多点i可以和Li条边相关联.

二分图多重最大匹配:

1.建立一个源点S和汇点T.

2.S指向x顶点,容量为x内点的L值.y顶点指向T,容量为y内点的L值.

3.原图中的各边在新图中仍存在,容量为1.

那么S到T的最大流就是多重最大匹配.

例如POJ1698:

 #include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#define _clr(x, y) memset(x, y, sizeof(x))
#define Min(x, y) (x < y ? x : y)
#define Max(x, y) (x > y ? x : y)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define N 400
using namespace std; int edge[N][N], dist[N];
int T, S, Sum, n;
bool used[N]; bool bfs()
{
_clr(dist, -);
queue<int> Q;
dist[S] = ;
Q.push(S);
while(!Q.empty())
{
int u = Q.front();
Q.pop();
for(int v=; v<=T; v++)
{
if(edge[u][v] && dist[v]<)
{
dist[v] = dist[u] + ;
Q.push(v);
}
}
}
return dist[T]>? : ;
} int dfs(int u, int alpha)
{
int a;
if(u==T) return alpha;
for(int i=; i<=T; i++)
{
if(edge[u][i] && dist[i]==dist[u]+ && (a=dfs(i, Min(alpha, edge[u][i]))))
{
edge[u][i] -= a;
edge[i][u] += a;
return a;
}
}
dist[u] = -;
return ;
}
void Dinic()
{
int ans=, a=;
while(bfs())
while(a=dfs(, INF)) ans += a;
printf ("%s\n", ans==Sum ? "Yes" : "No");
} int main()
{
int K, week[];
scanf("%d", &K);
while(K--)
{
int day = , d, w;
scanf("%d", &n);
Sum = , S=;
_clr(week, );
_clr(edge, );
for(int i=; i<=n; i++) // 1--n之间表示电影,n+1---T之间表示天数!
{
for(int i1=; i1<; i1++) scanf("%d", week+i1);
scanf("%d%d", &d, &w);
day = Max(day, w);
edge[S][i] = d; // 源点向每个电影节点 x 连接一条权值为拍摄此电影所需天数的值.
Sum += d; for(int j=; j<w; j++) // W周之内完成.
{
for(int k=; k<; k++)
if(week[k])
edge[i][n+j*+k+] = ; //第i部电影可以在w周内的周k拍摄.
}
T = day*+n+;
for(int i=n+; i<T; i++)
edge[i][T] = ;
}
Dinic();
}
return ;
}

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